Considere uma roda de raio desconhecido girando em torno de um eixo fixo, iniciando um movimento rotacional uniformemente acelerado a partir do repouso. Após exatamente 1,0 segundo, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda forma um ângulo de
em relação à direção do vetor velocidade linear do mesmo ponto.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(a) Determine a aceleração angular da roda.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(a) Determine a aceleração angular da roda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda girando com raio que a gente não sabe e ela começa a girar do nada, ou seja, do repouso, com uma aceleração angular constante. Depois de 1 segundo, a aceleração total de um ponto na borda da roda faz um ângulo de 30 graus com a direção da velocidade desse ponto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa aceleração angular da roda. Vamos precisar usar conceitos de movimento rotacional, aceleração centrípeta e tangencial, e trigonometria básica para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas acelerações que estão agindo no ponto da roda:
-
Aceleração tangencial (
): Essa aceleração está na mesma direção da velocidade linear do ponto e é causada pela aceleração angular ( ) da roda. A fórmula para ela é: Aqui,é o raio da roda. -
Aceleração centrípeta (
): Essa aceleração está direcionada para o centro da roda, perpendicular à velocidade linear. Ela depende da velocidade angular ( ) e é dada por: Mas como a roda parte do repouso e tem aceleração angular constante, podemos expressarem função de : Substituindo isso na fórmula de:
Passo 3
Sabemos que a aceleração total (
) é a combinação vetorial de
e
. Dessas, o ângulo de 30 graus entre
e
nos dá informação para relacionar
e
usando a tangente do ângulo:
Com
, temos:
Passo 4
Substituindo as fórmulas de
e
que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Como o tempo
segundo, substituímos na equação:
Portanto:
Resposta
A aceleração angular da roda é
rad/s².