Considere uma roda de raio desconhecido girando em torno de um eixo fixo, iniciando um movimento rotacional uniformemente acelerado a partir do repouso. Após exatamente 1,0 segundo, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda forma um ângulo de 30^circ em relação à direção do vetor velocidade linear do mesmo ponto.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(a) Determine a aceleração angular da roda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda girando com raio que a gente não sabe e ela começa a girar do nada, ou seja, do repouso, com uma aceleração angular constante. Depois de 1 segundo, a aceleração total de um ponto na borda da roda faz um ângulo de 30 graus com a direção da velocidade desse ponto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa aceleração angular da roda. Vamos precisar usar conceitos de movimento rotacional, aceleração centrípeta e tangencial, e trigonometria básica para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas acelerações que estão agindo no ponto da roda:
  1. Aceleração tangencial ( at): Essa aceleração está na mesma direção da velocidade linear do ponto e é causada pela aceleração angular ( alpha) da roda. A fórmula para ela é:
    at = alpha cdot r
    Aqui, r é o raio da roda.
  2. Aceleração centrípeta ( ac): Essa aceleração está direcionada para o centro da roda, perpendicular à velocidade linear. Ela depende da velocidade angular ( omega) e é dada por:
    ac = omega^2 cdot r
    Mas como a roda parte do repouso e tem aceleração angular constante, podemos expressar omega em função de alpha:
    omega = alpha cdot t
    Substituindo isso na fórmula de ac:
    ac = (alpha cdot t)^2 cdot r = alpha^2 cdot r cdot t^2

Passo 3

Sabemos que a aceleração total ( atotal) é a combinação vetorial de at e ac. Dessas, o ângulo de 30 graus entre atotal e at nos dá informação para relacionar at e ac usando a tangente do ângulo:
tan(theta) = atac
Com theta = 30^circ, temos:
tan(30^circ) = atac

Passo 4

Substituindo as fórmulas de at e ac que encontramos:
tan(30^circ) = alpha cdot ralpha^2 cdot r cdot t^2
Simplificando:
tan(30^circ) = 1alpha cdot t^2

Passo 5

Agora, isolamos alpha:
alpha cdot t^2 = 1tan(30^circ)
Sabemos que tan(30^circ) = 1raiz3, então:
alpha cdot t^2 = raiz3

Passo 6

Como o tempo t = 1,0 segundo, substituímos na equação:
alpha cdot (1,0)^2 = raiz3
Portanto:
alpha = raiz3 , rad/s^2

Resposta

A aceleração angular da roda é raiz3 rad/s².

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