Cargas estão distribuídas numa superfície esférica com r \leq 2 \mathrm{~m}, cuja densidade vale: \rho=\frac{-200}{r^{2}}\left(\mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right). Que fluxo total cruza as superfícies em:
r=1 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
  • Informação 1: as cargas estão distribuídas no interior da esfera de raio 2\\ \mathrm{m}, ou seja para r\le 2\\ \mathrm{m}.
  • Informação 2: a densidade volumétrica de carga é
\rho(r)=\frac{-200}{r^{2}}\\ \left(\mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}\right).
  • Informação 3: queremos o fluxo elétrico total que cruza a superfície esférica de raio r=1\\ \mathrm{m}.
Resumo do pedido: calcular o fluxo elétrico \Phi atravessando a superfície fechada esférica de raio \,1\\ \mathrm{m}\,, usando a densidade dada.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (aula rápida): Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo \varepsilon_{0}. Em fórmula:
\Phi=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total no volume interno à superfície fechada e \varepsilon_{0} é a constante \emph{permissividade do vácuo}.
  • Valor numérico útil (se precisar calcular): \displaystyle \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Então nossa tarefa reduz-se a encontrar Q_{\text{int}} para a esfera de raio 1\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Como calcular Q_{\text{int}} (aula de integração em coordenadas esféricas):
  • A carga total dentro da esfera de raio R é a integral da densidade sobre o volume:
Q_{\text{int}}=\int_{V}\rho(r)\,dV.
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como \rho depende só de r, a integral angular pode ser feita imediatamente e dá 4\pi. Portanto a integral reduz-se a
Q_{\text{int}}=4\pi\int_{0}^{R}\rho(r)\,r^{2}\,dr.
  • Para o nosso caso R=1\\ \mathrm{m} (porque queremos a superfície em r=1\\ \mathrm{m}) e \rho(r)=\dfrac{-200}{r^{2}}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Logo:
Q_{\text{int}}=4\pi\int_{0}^{1}\left(\frac{-200}{r^{2}}\right)r^{2}\,dr\quad\text{(em \(\mu\mathrm{C}\) ao integrar assim)}.
Observação importante (didática): apesar de \rho parecer singular em r=0 por ter 1/r^{2}, esse fator cancela com o r^{2} do dV, então a integral é perfeitamente regular e finita — bom para a prova: não se assuste com singularidades aparentes.

Passo 4

Avaliação da integral para Q_{\text{int}}:
  • Simplificando o integrando:
\left(\frac{-200}{r^{2}}\right)r^{2}=-200.
  • Portanto
Q_{\text{int}}=4\pi\int_{0}^{1}(-200)\,dr=4\pi\bigl[-200r\bigr]_{0}^{1}=4\pi\cdot(-200)\cdot(1-0)=-800\pi.
Este resultado está em unidades de \mu\mathrm{C} porque usamos \rho em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
  • Converter para coulombs (SI): 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}. Logo
Q_{\text{int}}=-800\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=-8\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss para obter o fluxo \Phi:
  • Fórmula:
\Phi=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{-8\pi\times10^{-4}}{\varepsilon_{0}}\\ \mathrm{(SI)}.
  • Substituindo \displaystyle \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, obtemos numericamente
\Phi\approx\frac{-8\pi\times10^{-4}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Fazendo a divisão (uma conta que no exame você pode deixar simbolicamente se não tiver calculadora) dá aproximadamente
\Phi\approx -2{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Dica de prova: se não tiver calculadora, entregue a resposta na forma exata \displaystyle \Phi=-\dfrac{8\pi\times10^{-4}}{\varepsilon_{0}}. Isso é completamente aceitável e mostra domínio do método.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{-8\pi\times10^{-4}}{\varepsilon_{0}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}\newline
\displaystyle \Phi\approx -2{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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