Cargas estão distribuídas numa superfície esférica com
, cuja densidade vale:
. Que fluxo total cruza as superfícies em:
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
- Informação 1: as cargas estão distribuídas no interior da esfera de raio
, ou seja para . - Informação 2: a densidade volumétrica de carga é
- Informação 3: queremos o fluxo elétrico total que cruza a superfície esférica de raio
.
Resumo do pedido: calcular o fluxo elétrico
atravessando a superfície fechada esférica de raio
, usando a densidade dada.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (aula rápida): Lei de Gauss.
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Em fórmula:
onde
é a carga total no volume interno à superfície fechada e
é a constante \emph{permissividade do vácuo}.
- Valor numérico útil (se precisar calcular):
.
Então nossa tarefa reduz-se a encontrar
para a esfera de raio
.
Passo 3
Como calcular
(aula de integração em coordenadas esféricas):
- A carga total dentro da esfera de raio
é a integral da densidade sobre o volume:
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
Como
depende só de
, a integral angular pode ser feita imediatamente e dá
. Portanto a integral reduz-se a
- Para o nosso caso
(porque queremos a superfície em ) e . Logo:
Observação importante (didática): apesar de
parecer singular em
por ter
, esse fator cancela com o
do
, então a integral é perfeitamente regular e finita — bom para a prova: não se assuste com singularidades aparentes.
Passo 4
Avaliação da integral para
:
- Simplificando o integrando:
- Portanto
Este resultado está em unidades de
porque usamos
em
.
- Converter para coulombs (SI):
. Logo
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss para obter o fluxo
:
- Fórmula:
- Substituindo
, obtemos numericamente
Fazendo a divisão (uma conta que no exame você pode deixar simbolicamente se não tiver calculadora) dá aproximadamente
Dica de prova: se não tiver calculadora, entregue a resposta na forma exata
. Isso é completamente aceitável e mostra domínio do método.