Uma linha de cargas de densidade uniforme \lambda=3 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} está localizada ao longo do eixo x. Que fluxo elétrico atravessa uma superfície esférica, centrada na origem, de raio 3 m ?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico que atravessa uma superfície esférica centrada na origem e de raio 3\\ \mathrm{m}. As informações dadas são:
\lambda = 3\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}
(uma linha de cargas de densidade linear uniforme localizada ao longo do eixo x) e o raio da esfera
R = 3\\ \mathrm{m}.
Não há outras especificações, portanto assumimos que a linha de carga está sobre o eixo x passando pelo centro da esfera (origem), e que devemos considerar todo o segmento dessa linha que fica dentro da esfera ao calcular a carga encerrada.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação passo a passo): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela permissividade do vácuo \varepsilon_0. Escrevendo isso:
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície fechada, Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante). Não precisamos conhecer o campo em cada ponto da superfície: basta saber a carga encerrada.

Passo 3

Vamos determinar a carga encerrada Q_{\text{enc}}. A linha de carga está sobre o eixo x e atravessa a esfera centrada na origem. A porção da linha que fica dentro da esfera é o segmento do eixo x que satisfaz a equação da esfera
x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
Como a linha está no eixo x, temos y=0 e z=0, então os pontos de interseção satisfazem x^2 = R^2, ou seja x = \pm R. Portanto o comprimento do segmento da linha de carga dentro da esfera é o diâmetro:
L_{\text{dentro}} = 2R.
Como a densidade linear é \lambda, a carga total dentro da esfera é
Q_{\text{enc}} = \lambda \cdot L_{\text{dentro}} = \lambda \cdot 2R.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos. Primeiro converto \lambda para coulombs por metro:
\lambda = 3\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} = 3\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
Com R=3\\ \mathrm{m} temos
Q_{\text{enc}} = (3\times10^{-6}) \cdot 2\cdot 3 = 18\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Agora aplicamos a Lei de Gauss. A permissividade do vácuo vale aproximadamente
\varepsilon_0 = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Logo o fluxo é
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{18\times10^{-6}}{8,854\times10^{-12}}.

Passo 6

Faço a divisão numérica (mostrando a escala):
\Phi \approx \frac{18}{8,854}\times10^{6}\approx 2,032\times10^{6}.
Portanto, em unidades do SI (o fluxo elétrico tem unidades \mathrm{N\cdot m^2/C}),
\Phi \approx 2,03\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Resposta

\displaystyle \Phi \approx 2{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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