Uma linha de cargas de densidade uniforme
está localizada ao longo do eixo x. Que fluxo elétrico atravessa uma superfície esférica, centrada na origem, de raio 3 m ?
Passo 1
O enunciado pede o fluxo elétrico que atravessa uma superfície esférica centrada na origem e de raio
. As informações dadas são:
(uma linha de cargas de densidade linear uniforme localizada ao longo do eixo
) e o raio da esfera
Não há outras especificações, portanto assumimos que a linha de carga está sobre o eixo
passando pelo centro da esfera (origem), e que devemos considerar todo o segmento dessa linha que fica dentro da esfera ao calcular a carga encerrada.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação passo a passo): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Escrevendo isso:
Aqui
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada,
é a carga total dentro da superfície, e
é a permissividade do vácuo (constante). Não precisamos conhecer o campo em cada ponto da superfície: basta saber a carga encerrada.
Passo 3
Vamos determinar a carga encerrada
. A linha de carga está sobre o eixo
e atravessa a esfera centrada na origem. A porção da linha que fica dentro da esfera é o segmento do eixo
que satisfaz a equação da esfera
Como a linha está no eixo
, temos
e
, então os pontos de interseção satisfazem
, ou seja
. Portanto o comprimento do segmento da linha de carga dentro da esfera é o diâmetro:
Como a densidade linear é
, a carga total dentro da esfera é
Passo 4
Substituímos os valores numéricos. Primeiro converto
para coulombs por metro:
Com
temos
Passo 5
Agora aplicamos a Lei de Gauss. A permissividade do vácuo vale aproximadamente
Logo o fluxo é
Passo 6
Faço a divisão numérica (mostrando a escala):
Portanto, em unidades do SI (o fluxo elétrico tem unidades
),