Uma carga total de 7 \times 10^{-8} \mathrm{C} é uniformemente distribuída em uma esfera não condutora de raio 5 cm . O potencial elétrico na superfície, relativo ao potencial no infinito, é cerca de:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 0
\bigcirc b. -1,3 \times 10^{4} \mathrm{~V}
\bigcirc c. 1,3 \times 10^{4} \mathrm{~V}
\bigcirc d. 7,0 \times 10^{5} \mathrm{~V}
\bigcirc e. -6,3 \times 10^{4} \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Carga total: \,Q = 7\times10^{-8}\,\mathrm{C}.
  • Esfera não condutora (distribuição de carga uniforme) de raio \,5\\ \mathrm{cm}.
  • Pede: o potencial elétrico na superfície da esfera, relativo ao potencial no infinito (ou seja, V(R) tomando V(\infty)=0).
    Não resolvemos nada ainda; só listamos os dados e o que é pedido.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
  • Para uma distribuição de carga esfericamente simétrica (mesmo que seja não condutora e com carga distribuída uniformemente), o campo elétrico fora da esfera é idêntico ao campo de uma carga pontual Q colocada no centro. Isso é resultado do uso da Lei de Gauss. Logo, para r\ge R,
E(r)=\frac{kQ}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática.
  • O potencial elétrico relativo ao infinito é obtido integrando o campo:
V(R)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{R}E(r)\,dr.
Como tomamos V(\infty)=0, segue
V(R)=-\int_{\infty}^{R}\frac{kQ}{r^{2}}\,dr.
  • Vamos calcular essa integral para obter a fórmula que usaremos. Aqui cada símbolo significa:
    • V(R): potencial na superfície (em volts, \mathrm{V}),
    • Q: carga total (em coulombs, \mathrm{C}),
    • R: raio da esfera (em metros, \mathrm{m}),
    • k: constante elétrica ( \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
    • r: variável radial de integração (em metros).

Passo 3

Cálculo da integral (passo a passo):
V(R)=-kQ\int_{\infty}^{R}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
A primitiva de r^{-2} é -r^{-1}. Portanto
V(R)=-kQ\Big[-\frac{1}{r}\Big]_{\infty}^{R}= -kQ\left(-\frac{1}{R}+0\right)=\frac{kQ}{R}.
Ou seja, a fórmula final que usaremos é
V(R)=\frac{kQ}{R}.

Passo 4

Converta unidades e coloque os valores:
  • Raio: 5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}. Então R=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Constante eletrostática: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Substituindo na fórmula:
V(R)=\frac{8,99\times10^{9}\times 7\times10^{-8}}{0,05}.

Passo 5

Faça as contas em potência de 10, passo a passo:
\frac{7\times10^{-8}}{0,05}=\frac{7\times10^{-8}}{5\times10^{-2}}=\frac{7}{5}\times10^{-8-(-2)}=\frac{7}{5}\times10^{-6}=1,4\times10^{-6}.
Agora multiplica por k:
V(R)=8,99\times10^{9}\times 1,4\times10^{-6}=(8,99\times1,4)\times10^{9-6}.
Calcule 8,99\times1,4=12,586. Então
V(R)=12,586\times10^{3}=1,2586\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente (e comparando com as opções), temos aproximadamente
V(R)\approx 1,3\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
O sinal é positivo porque a carga Q é positiva.

Passo 6

Comparação com as alternativas:
  • A opção que corresponde a 1,3\times10^{4}\\ \mathrm{V} é a alternativa (c).
  • As alternativas com sinal negativo estão erradas porque para carga positiva o potencial relativo ao infinito é positivo.
  • Portanto a resposta correta é a letra (c).

Resposta

c. 1,3\times10^{4}\\ \mathrm{V}

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