Uma roda-gigante de raio 14 m gira em torno de um eixo horizontal. Um passageiro, sentado em uma cadeira, move-se com velocidade linear v=7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Determine:
a) a velocidade angular do movimento;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dados: o raio da roda-gigante é 14\\ \mathrm{m} (peguei esse valor da figura) e a velocidade linear do passageiro é v=7\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Pergunta: determinar a velocidade angular do movimento (ou seja, \omega).\n
    Não faço nenhuma conta aqui ainda — só organizei o que temos e o que precisamos encontrar.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade angular e a relação básica com a velocidade linear:\n
  • A velocidade angular \omega é a taxa de variação do ângulo \theta descrito pela posição do passageiro, medida em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}). Ou seja, \omega=\dfrac{d\theta}{dt}.\n
  • A relação geométrica entre comprimento de arco s, ângulo \theta (em rad) e raio r é
s = r\theta.
Aqui: s é a distância ao longo da circunferência, r é o raio da roda e \theta é o ângulo correspondente.

Passo 3

Passando da relação geométrica para a relação entre velocidades:\n
  • Diferenciando s = r\theta em relação ao tempo t obtemos
\frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt}.
  • O lado esquerdo \dfrac{ds}{dt} é exatamente a velocidade linear v. O lado direito é r\omega. Logo chegamos à fórmula fundamental
v = r\omega.
Explicação curta: isso diz que a velocidade ao longo da borda da roda é o produto do raio pela velocidade angular.

Passo 4

Isolando \omega e substituindo os valores numéricos:\n
  • Isolando temos
\omega = \frac{v}{r}.
  • Substituindo v=7\\ \mathrm{m/s} e r=14\\ \mathrm{m},
\omega = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}.
  • Em forma decimal (usando vírgula como separador decimal) isso é
\omega = 0,5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (opcional, mas útil para provas):\n
  • Unidade: \omega ficou em \mathrm{rad/s}, correto.\n
  • Podemos também ver a frequência de revoluções por segundo f usando \omega = 2\pi f. Assim
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{0,5}{2\pi} \approx 0,0796\\ \mathrm{Hz}\approx 0,0796\\ \text{rev/s},
ou em rotações por minuto (rpm):
f_{\text{rpm}} \approx 0,0796\cdot 60 \approx 4,78\\ \text{rpm}.
Isto só ajuda a interpretar: a roda completa cerca de 4,78 voltas por minuto com essa velocidade linear.

Resposta

\omega = 0,5\\ \mathrm{rad/s}

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