1-Um ciclista a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atinge a base de uma rampa. Considerando que não há energia mecânica sendo dissipada por atritos, qual será a máxima altura que ele atingirá na rampa? Adote \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dados: a velocidade inicial do ciclista na base da rampa é \;v=5\\ \mathrm{m/s}\;.
  • Dados: aceleração da gravidade \;g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\;.
  • Condição: não há dissipação de energia por atrito (energia mecânica conservada).
  • Pergunta: qual é a máxima altura \;h\; que o ciclista atingirá na rampa?

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma didática): quando não há perdas por atrito nem outras forças não conservativas, a energia mecânica total se conserva. Energia mecânica total é a soma da energia cinética \;K\; e da energia potencial gravitacional \;U\;.
  • Energia cinética: \;K=\dfrac{1}{2}mv^{2}\;, onde \;m\; é a massa do ciclista+bicicleta (em kg) e \;v\; é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Energia potencial gravitacional (tomando referência \;h=0\; na base): \;U=mgh\;, onde \;h\; é a altura (em m).
Como a energia mecânica se conserva, o valor de \;K+U\; no ponto inicial é igual ao valor de \;K+U\; no ponto final.

Passo 3

Identifique os estados inicial e final:
  • Estado inicial (na base): altura \;h_{i}=0\;, velocidade \;v_{i}=5\\ \mathrm{m/s}. Logo \;U_{i}=mg\cdot 0=0\; e \;K_{i}=\dfrac{1}{2}m v_{i}^{2}.
  • Estado final (altura máxima): velocidade \;v_{f}=0\; (no instante de subida máxima a velocidade instantânea é zero), altura \;h_{f}=h\;. Logo \;K_{f}=0\; e \;U_{f}=mgh.
Aplicando conservação da energia mecânica:
K_{i}+U_{i}=K_{f}+U_{f}.

Passo 4

Substituindo as expressões de K e U na equação de conservação:
\dfrac{1}{2}m v_{i}^{2} + 0 = 0 + m g h.
Observe que a massa \;m\; aparece em ambos os lados e, portanto, cancela — não precisamos saber a massa do ciclista para encontrar \;h\;. Isolando \;h\; obtemos a fórmula:
h=\dfrac{v_{i}^{2}}{2g}.
Explicação rápida: essa fórmula é muito usada em problemas de subida sem atrito; ela vem da equivalência entre energia cinética disponível e energia potencial adquirida.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos conhecidos: \;v_{i}=5\\ \mathrm{m/s}\; e \;g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\;.
h=\dfrac{5^{2}}{2\cdot 10}=\dfrac{25}{20}.
Fazendo a divisão:
\dfrac{25}{20}=1{,}25.
Portanto a altura máxima é \;1{,}25\\ \mathrm{m}\;.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova: a massa cancela, então sempre que você vir um problema desses sem atrito e com subida até velocidade zero, pode usar direto \;h=v^{2}/(2g). Se a velocidade fosse em \mathrm{km/h}, primeiro converta para \mathrm{m/s} antes de aplicar a fórmula. Você está indo bem — só lembrar desse passo de cancelar a massa e de usar v_{f}=0 na altura máxima.

Resposta

1{,}25\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados