Uma superfície S fechada contém uma distribuição linear finita de cargas em
m , cuja densidade vale
. Que fluxo total atravessa a superfície?
Passo 1
O enunciado dá uma superfície fechada
que contém internamente uma distribuição linear finita de carga ao longo do parâmetro
no intervalo
(unidade: metros). A densidade linear é
A pergunta é: qual é o fluxo elétrico total que atravessa a superfície
?
Passo 2
O que precisamos fazer (sem ainda calcular): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é dado pela Lei de Gauss, que relaciona o fluxo com a carga total contida dentro da superfície. Portanto, primeiro vamos calcular a carga total contida integrando a densidade linear ao longo do segmento
. Em seguida aplicamos a Lei de Gauss para obter o fluxo. Vou explicar cada uma dessas coisas com calma enquanto calculamos.
Passo 3
Lembrete rápido das definições (porque é importante entender cada símbolo):
-
é a densidade linear de carga, que tem unidade de . Integrando em obtemos carga em coulombs. -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante da Lei de Gauss). - A Lei de Gauss para uma superfície fechada diz que o fluxo elétrico total
através da superfície é a carga total dentro dividida por :
Então vamos calcular
.
Passo 4
Escrevendo o integral da carga total:
Agora fazemos uma substituição para facilitar a integral. Seja
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo no integral:
Passo 5
Calcule o integral de
. Lembre que
. Assim
Portanto
Isso significa que a carga total contida na superfície é
coulombs (o sinal negativo indica carga negativa no conjunto).
Passo 6
Agora aplicamos a Lei de Gauss: o fluxo total através da superfície fechada
é a carga total dentro dividida por
. Então
Expliquei antes o significado de cada símbolo:
é o fluxo elétrico (unidade:
ou
),
é a constante positiva de densidade linear dada no enunciado e
é a permissividade do vácuo.
Passo 7
Cheque rápido de consistência: a densidade tem unidade
e foi integrada em metros, dando coulombs. Dividindo por
(unidade
) resulta em unidades de fluxo corretas. O sinal negativo indica que o fluxo líquido sai/entra de acordo com a carga negativa (pela convenção dos campos).