Uma superfície S fechada contém uma distribuição linear finita de cargas em 0 \leq l \leq \pi m , cuja densidade vale \lambda=-\lambda_{0} \sin \frac{l}{2}(\mathrm{C} / \mathrm{m}). Que fluxo total atravessa a superfície?

Passo 1

O enunciado dá uma superfície fechada S que contém internamente uma distribuição linear finita de carga ao longo do parâmetro l no intervalo 0 \le l \le \pi (unidade: metros). A densidade linear é
\lambda(l) = -\lambda_{0}\sin\!\left(\frac{l}{2}\right)\quad(\text{C/m}).
A pergunta é: qual é o fluxo elétrico total que atravessa a superfície S?

Passo 2

O que precisamos fazer (sem ainda calcular): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é dado pela Lei de Gauss, que relaciona o fluxo com a carga total contida dentro da superfície. Portanto, primeiro vamos calcular a carga total contida integrando a densidade linear ao longo do segmento 0\le l\le\pi. Em seguida aplicamos a Lei de Gauss para obter o fluxo. Vou explicar cada uma dessas coisas com calma enquanto calculamos.

Passo 3

Lembrete rápido das definições (porque é importante entender cada símbolo):
  • \lambda(l) é a densidade linear de carga, que tem unidade de \text{C/m}. Integrando \lambda(l) em l obtemos carga em coulombs.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (constante da Lei de Gauss).
  • A Lei de Gauss para uma superfície fechada diz que o fluxo elétrico total \Phi através da superfície é a carga total dentro dividida por \varepsilon_{0}:
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Então vamos calcular Q_{\text{enc}}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\lambda(l)\,dl.

Passo 4

Escrevendo o integral da carga total:
Q_{\text{enc}} = \int_{0}^{\pi} \lambda(l)\,dl = \int_{0}^{\pi} \biggl(-\lambda_{0}\sin\!\bigl(\tfrac{l}{2}\bigr)\biggr)\,dl.
Agora fazemos uma substituição para facilitar a integral. Seja
u=\tfrac{l}{2}\quad\Rightarrow\quad dl = 2\,du.
Quando l=0 temos u=0. Quando l=\pi temos u=\tfrac{\pi}{2}. Substituindo no integral:
Q_{\text{enc}} = -\lambda_{0}\int_{0}^{\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{l}{2}\bigr)\,dl = -\lambda_{0}\cdot 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin u\,du.

Passo 5

Calcule o integral de \sin u. Lembre que \displaystyle\int \sin u\,du = -\cos u + C. Assim
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \bigl(-\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr)=0-(-1)=1.
Portanto
Q_{\text{enc}} = -\lambda_{0}\cdot 2\cdot 1 = -2\lambda_{0}.
Isso significa que a carga total contida na superfície é -2\lambda_{0} coulombs (o sinal negativo indica carga negativa no conjunto).

Passo 6

Agora aplicamos a Lei de Gauss: o fluxo total através da superfície fechada S é a carga total dentro dividida por \varepsilon_{0}. Então
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{-2\lambda_{0}}{\varepsilon_{0}}.
Expliquei antes o significado de cada símbolo: \Phi é o fluxo elétrico (unidade: \text{V}\cdot\text{m} ou \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}), \lambda_{0} é a constante positiva de densidade linear dada no enunciado e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 7

Cheque rápido de consistência: a densidade tem unidade \text{C/m} e foi integrada em metros, dando coulombs. Dividindo por \varepsilon_{0} (unidade \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)) resulta em unidades de fluxo corretas. O sinal negativo indica que o fluxo líquido sai/entra de acordo com a carga negativa (pela convenção dos campos).

Resposta

\Phi = -\frac{2\lambda_{0}}{\varepsilon_{0}}

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