Dada a densidade de cargas em coordenadas esféricas,
. Calcule a quantidade nos volumes esféricos fechados:
;
Passo 1
O enunciado pede a carga total contida no volume esférico fechado de raio
, dado que a densidade de carga em coordenadas esféricas é
Informações relevantes do enunciado:
- A densidade é
. - O raio do volume é
. - Não foi dada convenção explícita para os ângulos; vou adotar a convenção usual em física:
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ou seja ) e é o ângulo azimutal no plano (ou seja ). - A pergunta explícita: calcular a quantidade (carga total) dentro do volume esférico de raio
.
Passo 2
Vamos escrever a expressão para a carga total
como integral da densidade sobre o volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume vale
Aqui
é a coordenada radial,
é o ângulo polar (distância angular até o eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
. A carga total é dada por
onde a integração percorre
,
e
. Vou explicar passo a passo cada fator que aparece na integral.
Passo 3
Primeiro simplificamos a expressão da densidade algebraicamente para facilitar a integração. Temos
Portanto o integrando
fica
Multiplicando os fatores em
obtemos o integrando final em termos separáveis:
Note que isso deixa a parte angular separada da parte radial, o que facilita a integração por partes.
Passo 4
Agora montamos a integral tripla para
:
Como
e
são constantes, podemos colocá-las fora das integrais:
Vou calcular cada uma dessas três integrais separadamente: a integral em
, a integral em
e a integral em
.
Passo 5
Integral em
:
Explicação simples: não há dependência em
no integrando, então é só o comprimento do intervalo azimutal.
Passo 6
Integral em
:
Para integrar, usamos a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
A integral de
é
, então
Portanto
Passo 7
Integral radial:
Para facilitar, fazemos a mudança de variável adimensional
. Então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo:
Agora calculamos
. Uma primitiva pode ser obtida por integração por partes ou recordando a forma
. Aplicando os limites:
Portanto
Passo 8
Agora juntamos todos os fatores para obter
. Lembrando que
substituímos os valores já calculados:
Multiplicando constantes:
Uma forma mais canônica é
Comentário prático: numericamente
, então o fator entre parênteses é positivo e próximo de
, mas na prova geralmente é pedido deixar em forma exata simbólica como acima.