Dada a densidade de cargas em coordenadas esféricas, \rho=\frac{\rho_{0}}{r / r_{0}} e^{-r / r_{0}} \cos ^{2} \varphi. Calcule a quantidade nos volumes esféricos fechados:
r=5 r_{0};

Passo 1

O enunciado pede a carga total contida no volume esférico fechado de raio r=5r_{0}, dado que a densidade de carga em coordenadas esféricas é
\rho=\frac{\rho_{0}}{r/r_{0}}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi.
Informações relevantes do enunciado:
  • A densidade é \rho=\dfrac{\rho_{0}}{r/r_{0}}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi.
  • O raio do volume é r_{\text{max}}=5r_{0}.
  • Não foi dada convenção explícita para os ângulos; vou adotar a convenção usual em física: \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja 0\le\varphi\le\pi) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (ou seja 0\le\theta\le2\pi).
  • A pergunta explícita: calcular a quantidade (carga total) dentro do volume esférico de raio 5r_{0}.

Passo 2

Vamos escrever a expressão para a carga total Q como integral da densidade sobre o volume. Em coordenadas esféricas o elemento de volume vale
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Aqui r é a coordenada radial, \varphi é o ângulo polar (distância angular até o eixo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy. A carga total é dada por
Q=\iiint_{V}\rho\,dV,
onde a integração percorre 0\le r\le 5r_{0}, 0\le\varphi\le\pi e 0\le\theta\le2\pi. Vou explicar passo a passo cada fator que aparece na integral.

Passo 3

Primeiro simplificamos a expressão da densidade algebraicamente para facilitar a integração. Temos
\rho=\frac{\rho_{0}}{r/r_{0}}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi =\rho_{0}\,\frac{r_{0}}{r}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi.
Portanto o integrando \rho\,dV fica
\rho\,dV=\left(\rho_{0}\,\frac{r_{0}}{r}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi\right)\left(r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\right).
Multiplicando os fatores em r obtemos o integrando final em termos separáveis:
\rho\,dV=\rho_{0}\,r_{0}\,r\,e^{-r/r_{0}}\,\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Note que isso deixa a parte angular separada da parte radial, o que facilita a integração por partes.

Passo 4

Agora montamos a integral tripla para Q:
Q=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{5r_{0}} \rho_{0}\,r_{0}\,r\,e^{-r/r_{0}}\,\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Como \rho_{0} e r_{0} são constantes, podemos colocá-las fora das integrais:
Q=\rho_{0}\,r_{0}\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{5r_{0}}r\,e^{-r/r_{0}}\,dr\right).
Vou calcular cada uma dessas três integrais separadamente: a integral em \theta, a integral em \varphi e a integral em r.

Passo 5

Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Explicação simples: não há dependência em \theta no integrando, então é só o comprimento do intervalo azimutal.

Passo 6

Integral em \varphi:
I_{\varphi}=\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.
Para integrar, usamos a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=\cos 0=1; quando \varphi=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
I_{\varphi}=\int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du) =\int_{u=-1}^{u=1} u^{2}\,du.
A integral de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}, então
I_{\varphi}=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Portanto \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi=\frac{2}{3}.

Passo 7

Integral radial:
I_{r}=\int_{0}^{5r_{0}} r\,e^{-r/r_{0}}\,dr.
Para facilitar, fazemos a mudança de variável adimensional t=\dfrac{r}{r_{0}}. Então r=r_{0}t e dr=r_{0}\,dt. Quando r=0 temos t=0; quando r=5r_{0} temos t=5. Substituindo:
I_{r}=\int_{0}^{5} (r_{0}t)\,e^{-t}\,(r_{0}\,dt)=r_{0}^{2}\int_{0}^{5} t\,e^{-t}\,dt.
Agora calculamos \int_{0}^{5} t e^{-t} dt. Uma primitiva pode ser obtida por integração por partes ou recordando a forma \int t e^{-t}dt = - (t+1)e^{-t}+C. Aplicando os limites:
\int_{0}^{5} t e^{-t} dt = \left[-(t+1)e^{-t}\right]_{0}^{5} = -6e^{-5} -\left[-1\cdot e^{0}\right] = -6e^{-5}+1 = 1-6e^{-5}.
Portanto
I_{r}=r_{0}^{2}\left(1-6e^{-5}\right).

Passo 8

Agora juntamos todos os fatores para obter Q. Lembrando que
Q=\rho_{0}\,r_{0}\cdot\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\cdot I_{\varphi}\cdot I_{r},
substituímos os valores já calculados:
Q=\rho_{0}\,r_{0}\cdot(2\pi)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\left(r_{0}^{2}(1-6e^{-5})\right).
Multiplicando constantes:
Q=\rho_{0}\,r_{0}^{3}\,\frac{4\pi}{3}\,\left(1-6e^{-5}\right).
Uma forma mais canônica é
Q=\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}\left(1-6e^{-5}\right).
Comentário prático: numericamente 6e^{-5}\approx 0{,}040427, então o fator entre parênteses é positivo e próximo de 0{,}96, mas na prova geralmente é pedido deixar em forma exata simbólica como acima.

Resposta

Q=\frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\,r_{0}^{3}\left(1-6e^{-5}\right)

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