Cargas pontuais idênticas Q estão localizadas nos oito vértices de um cubo de lado L. Mostre que intensidade da força resultante sobre cada carga é dada por 3,29 K Q^{2} L^{-2}, onde K é a constante elétrica do meio.

Passo 1

O enunciado diz que há cargas pontuais idênticas \,Q\, nos oito vértices de um cubo de lado \,L\, e pede a intensidade da força resultante sobre cada carga. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As cargas são todas iguais: \,Q\,.
  • Estão nos vértices de um cubo de aresta \,L\,.
  • Queremos a intensidade (módulo) da força elétrica resultante sobre uma carga qualquer (qualquer vértice).
  • A constante elétrica do meio é \,K\,$ (usada na lei de Coulomb). Nada mais foi dado; vamos calcular a força resultante no vértice escolhido usando as posições relativas das outras sete cargas.çéçõ

Passo 2

Apresento a lei que vamos usar: a lei de Coulomb (em forma vetorial).
A força elétrica entre duas cargas pontuais \,q_1 e \,q_2 separadas por um vetor \,\mathbf{r} (do corpo 1 para o corpo 2) tem módulo
F = \frac{K\,q_1 q_2}{r^{2}}
e direção ao longo da reta que une as cargas. Em forma vetorial, a força exercida pela carga em \mathbf{r}_2 sobre a carga em \mathbf{r}_1 é
\mathbf{F}_{12} = K\frac{q_1 q_2}{\lVert \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rVert^{2}}\;\hat{\mathbf{u}}_{1\leftarrow2}
onde \hat{\mathbf{u}}_{1\leftarrow2} é o versor apontando de \mathbf{r}_2 para \mathbf{r}_1. Explicando as variáveis:
  • \,K é a constante elétrica do meio (por exemplo K=1/(4\pi\varepsilon_0) no vácuo).
  • \,q_1,q_2 são as cargas.
  • \,r=\lVert \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rVert é a distância entre as cargas.
  • \hat{\mathbf{u}}_{1\leftarrow2}=(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)/r é o vetor unitário nessa direção.
Para somar forças de várias cargas, usamos superposição: a força total é a soma vetorial das forças individuais.

Passo 3

Escolho um sistema de coordenadas para facilitar: coloco a carga sobre a qual calculamos a força no vértice de coordenadas \,(0,0,0). Então os demais vértices têm coordenadas com componentes iguais a 0 ou L. As sete outras cargas estão em:
(L,0,0),\\ (0,L,0),\\ (0,0,L),\\ (L,L,0),\\ (L,0,L),\\ (0,L,L),\\ (L,L,L).
Para uma carga localizada em (x,y,z) (com x,y,z\in\{0,L\}), o vetor que vai dessa carga até a carga em (0,0,0) é (-x,-y,-z). A distância é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Escrevo a contribuição vetorial da força, pela carga em (x,y,z), sobre a carga em (0,0,0). Usando a forma vetorial da lei de Coulomb:
\mathbf{F}(x,y,z) = -K\frac{Q^{2}}{r^{3}}\,(x,y,z),
onde \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Observe que o sinal negativo indica que a força sobre a carga no origem é para o sentido oposto ao vetor (x,y,z) (repulsão entre cargas positivas). Note também que a componente x dessa força é
F_x(x,y,z) = -K\frac{Q^{2}}{r^{3}}\,x.
Analogamente para F_y e F_z.

Passo 5

Determino quais vértices contribuem para a componente x da força. Só as cargas com x=L têm contribuição não nula em x. Essas são quatro vértices:
(L,0,0),\\ (L,L,0),\\ (L,0,L),\\ (L,L,L).
Para cada um calculo x/r^{3} (lembrando que x=L sempre), pois aparece em F_x.
  • Para (L,0,0): r=L, logo
\frac{x}{r^{3}}=\frac{L}{L^{3}}=\frac{1}{L^{2}}.
  • Para (L,L,0) e (L,0,L): r=\sqrt{2}\,L, então
\frac{x}{r^{3}}=\frac{L}{(\sqrt{2}\,L)^{3}}=\frac{1}{2^{3/2}\,L^{2}}.
Há duas dessas com o mesmo valor, por isso multiplicamos por 2.
  • Para (L,L,L): r=\sqrt{3}\,L, então
\frac{x}{r^{3}}=\frac{L}{(\sqrt{3}\,L)^{3}}=\frac{1}{3^{3/2}\,L^{2}}.

Passo 6

Somando as contribuições em x (antes de multiplicar por -KQ^{2}) obtemos
\sum_{\text{vértices}} \frac{x}{r^{3}}=\frac{1}{L^{2}}+\frac{2}{2^{3/2}\,L^{2}}+\frac{1}{3^{3/2}\,L^{2}}.é
Fatorando 1/L^{2}:
\sum_{\text{vértices}} \frac{x}{r^{3}}=\frac{1}{L^{2}}\left(1+\frac{2}{2^{3/2}}+\frac{1}{3^{3/2}}\right).é
Portanto a componente x da força total é
F_x = -K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\left(1+\frac{2}{2^{3/2}}+\frac{1}{3^{3/2}}\right).
Por simetria, as componentes F_y e F_z são iguais a F_x.

Passo 7

Agora faço as aproximações numéricas (vou mostrar os cálculos para você poder repetir sem calculadora até um certo ponto):
  • 2^{3/2}=2\sqrt{2}. Sabemos \sqrt{2}\approx 1,41421356, então 2^{3/2}\approx 2,82842712. Assim
\frac{1}{2^{3/2}}\approx 0,35355339.
Duas vezes isso é 0,70710678.
  • 3^{3/2}=3\sqrt{3}. Sabemos \sqrt{3}\approx 1,73205081, então 3^{3/2}\approx 5,19615242. Assim
\frac{1}{3^{3/2}}\approx 0,19245009.
Somando os termos:
1 + \frac{2}{2^{3/2}} + \frac{1}{3^{3/2}} \approx 1 + 0,70710678 + 0,19245009 = 1,89955687.

Passo 8

Usando o resultado do passo anterior, cada componente é
F_x = F_y = F_z \approx -K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\cdot 1,89955687.
O vetor resultante é, portanto,
\mathbf{F} \approx -K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\cdot 1,89955687\;(1,1,1).
O sinal negativo indica que aponta na direção (-1,-1,-1), ou seja, para dentro do cubo ao longo da diagonal que vai do vértice escolhido ao vértice oposto.

Passo 9

A intensidade (módulo) da força resultante é
F=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
Como F_x=F_y=F_z=-K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\cdot a com a\approx 1,89955687, temos
F=\sqrt{3}\;K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\;a.
Substituindo a:
F\approx \sqrt{3}\;K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\;1,89955687.
Usando \sqrt{3}\approx 1,73205081:
F\approx 1,73205081\times 1,89955687\;K\frac{Q^{2}}{L^{2}}\approx 3,28986813\;K\frac{Q^{2}}{L^{2}}.
Arredondando para duas casas decimais no coeficiente (como no enunciado), obtemos 3,29.

Passo 10

Interpretação final e dica prática para prova: em problemas com muitas cargas em posições simétricas, coloque um vértice na origem e use coordenadas (0 ou L) para listar distâncias; calcule componentes e use simetria (aqui todas as componentes são iguais). Para somar forças de pares, use diretamente a forma vetorial -KQ^{2}\,(x,y,z)/r^{3} para cada carga e some as componentes, depois obtenha o módulo. Isso evita ter de desenhar muitos vetores e torna a conta rápida e segura.

Resposta

3,29\;K\dfrac{Q^{2}}{L^{2}}

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