Cargas pontuais idênticas
estão localizadas nos oito vértices de um cubo de lado
. Mostre que intensidade da força resultante sobre cada carga é dada por
, onde
é a constante elétrica do meio.
Passo 1
O enunciado diz que há cargas pontuais idênticas
nos oito vértices de um cubo de lado
e pede a intensidade da força resultante sobre cada carga. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As cargas são todas iguais:
. - Estão nos vértices de um cubo de aresta
. - Queremos a intensidade (módulo) da força elétrica resultante sobre uma carga qualquer (qualquer vértice).
- A constante elétrica do meio é
Passo 2
Apresento a lei que vamos usar: a lei de Coulomb (em forma vetorial).
A força elétrica entre duas cargas pontuais e
separadas por um vetor
(do corpo 1 para o corpo 2) tem módulo
A força elétrica entre duas cargas pontuais
e direção ao longo da reta que une as cargas. Em forma vetorial, a força exercida pela carga em
sobre a carga em
é
onde
é o versor apontando de
para
. Explicando as variáveis:
-
é a constante elétrica do meio (por exemplo no vácuo). -
são as cargas. -
é a distância entre as cargas. -
é o vetor unitário nessa direção.
Para somar forças de várias cargas, usamos superposição: a força total é a soma vetorial das forças individuais.
Passo 3
Escolho um sistema de coordenadas para facilitar: coloco a carga sobre a qual calculamos a força no vértice de coordenadas
. Então os demais vértices têm coordenadas com componentes iguais a
ou
. As sete outras cargas estão em:
Para uma carga localizada em
(com
), o vetor que vai dessa carga até a carga em
é
. A distância é
.
Passo 4
Escrevo a contribuição vetorial da força, pela carga em
, sobre a carga em
. Usando a forma vetorial da lei de Coulomb:
onde
. Observe que o sinal negativo indica que a força sobre a carga no origem é para o sentido oposto ao vetor
(repulsão entre cargas positivas). Note também que a componente
dessa força é
Analogamente para
e
.
Passo 5
Determino quais vértices contribuem para a componente
da força. Só as cargas com
têm contribuição não nula em
. Essas são quatro vértices:
Para cada um calculo
(lembrando que
sempre), pois aparece em
.
- Para
: , logo
- Para
e : , então
Há duas dessas com o mesmo valor, por isso multiplicamos por
.
- Para
: , então
Passo 6
Somando as contribuições em
(antes de multiplicar por
) obtemos
Fatorando
:
Portanto a componente
da força total é
Por simetria, as componentes
e
são iguais a
.
Passo 7
Agora faço as aproximações numéricas (vou mostrar os cálculos para você poder repetir sem calculadora até um certo ponto):
-
. Sabemos , então . Assim
Duas vezes isso é
.
-
. Sabemos , então . Assim
Somando os termos:
Passo 8
Usando o resultado do passo anterior, cada componente é
O vetor resultante é, portanto,
O sinal negativo indica que aponta na direção
, ou seja, para dentro do cubo ao longo da diagonal que vai do vértice escolhido ao vértice oposto.
Passo 9
A intensidade (módulo) da força resultante é
Como
com
, temos
Substituindo
:
Usando
:
Arredondando para duas casas decimais no coeficiente (como no enunciado), obtemos
.
Passo 10
Interpretação final e dica prática para prova: em problemas com muitas cargas em posições simétricas, coloque um vértice na origem e use coordenadas
ou
para listar distâncias; calcule componentes e use simetria (aqui todas as componentes são iguais). Para somar forças de pares, use diretamente a forma vetorial
para cada carga e some as componentes, depois obtenha o módulo. Isso evita ter de desenhar muitos vetores e torna a conta rápida e segura.