Duas cargas puntiformes, Q_{1}=30 \mu C e Q_{2}=-100 \mu C, estão localizadas, respectivamente, em (2,0,5) \mathrm{m} e (-1,0,-2) \mathrm{m}. Calcule a força de Q_{2} sobre Q_{1}. Considere o meio o vácuo.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a força exercida por Q_{2} sobre Q_{1}. Dados fornecidos (retirei diretamente do enunciado):
Q_{1}=30\\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_{2}=-100\\ \mu\mathrm{C}
\mathbf{r}_{1}=(2,0,5)\\ \mathrm{m},\qquad \mathbf{r}_{2}=(-1,0,-2)\\ \mathrm{m}
O meio é o vácuo (logo usarei a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}).

Passo 2

A fórmula vetorial de Coulomb que dá a força sobre a carga q_{1} causada por q_{2} é:
\mathbf{F}_{1} = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|^{3}}(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}).
Explicando cada coisa com calma:
  • \mathbf{F}_{1} é a força resultante sobre q_{1} devido a q_{2} (aqui é o que nos pedem).
  • k é a constante eletrostática no vácuo; numericamente vou usar k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • q_{1}q_{2} é o produto das cargas (o sinal do produto indica se a força é de repulsão ou atração).
  • \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} é o vetor que vai de q_{2} até q_{1}.
  • |\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}| é o comprimento desse vetor; o cubo aparece para normalizar o vetor e obter componentes corretas.

Passo 3

Obtenho o vetor relativo entre as cargas (peguei as coordenadas da própria figura/enunciado):
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}=(2-(-1),\;0-0,\;5-(-2))=(3,0,7)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculo a distância entre as cargas:
|\mathbf{r}|=\sqrt{3^{2}+0^{2}+7^{2}}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\\ \mathrm{m}\approx 7{,}6158\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converto as cargas para o SI e calculo o produto:
q_{1}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_{2}=-100\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_{1}q_{2}=30\times10^{-6}\times(-100)\times10^{-6}=-3\times10^{-9}\\ \mathrm{C^{2}}.
O produto é negativo, portanto a força será atrativa (ou seja, q_{1} é puxada na direção de q_{2}).

Passo 6

Uso a fórmula vetorial. Primeiro escrevo o denominador em forma conveniente:
|\mathbf{r}|^{3}=(\sqrt{58})^{3}=58\sqrt{58}.
Aplicando a fórmula:
\mathbf{F}_{1}=k\,\frac{q_{1}q_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}}\;\mathbf{r}.
Agora calculo o fator escalar numérico:
k\,\frac{q_{1}q_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \approx 8{,}98755179\times10^{9}\cdot\frac{-3\times10^{-9}}{58\sqrt{58}} \approx -0{,}0610349\\ \mathrm{N/m}.
(Esse fator tem dimensão de N/m porque será multiplicado pelo vetor \mathbf{r} em metros para dar Newtons.)

Passo 7

Multiplico esse fator escalar pelo vetor \mathbf{r}=(3,0,7)\\ \mathrm{m} para obter as componentes:
F_{x}=(-0{,}0610349)\times 3\approx -0{,}183105\\ \mathrm{N},
F_{y}=(-0{,}0610349)\times 0=0\\ \mathrm{N},
F_{z}=(-0{,}0610349)\times 7\approx -0{,}427244\\ \mathrm{N}.
Portanto o vetor força é
\mathbf{F}_{2\to1}=\mathbf{F}_{1}\approx(-0{,}183105,\;0,\;-0{,}427244)\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Calculo a magnitude para interpretação:
|\mathbf{F}|=\sqrt{(-0{,}183105)^{2}+0^{2}+(-0{,}427244)^{2}}\approx 0{,}464873\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: sinais negativos nas componentes x e z significam que a força sobre Q_{1} aponta para coordenadas menores em x e z, ou seja, aponta na direção de Q_{2} — confirma que a interação é atrativa.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{2\to1}\approx(-0{,}183105,\;0,\;-0{,}427244)\\ \mathrm{N}
\displaystyle |\mathbf{F}_{2\to1}|\approx 0{,}464873\\ \mathrm{N}

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