As cargas pontuais q_{1}=-3,0 \mu C, q_{2}=0,1 \mu C e q_{3}=5,0 \mu C estão no plano x y nas posições ( -4,0 m ; 0 m ), (-4,0 m ; 3,0 m) e (2,0 m ;-8,0 m), respectivamente.
( \mathbf{1 , 5}) Determine o vetor campo elétrico resultante criado pelas cargas q_{1} e q_{3} no ponto (2,0 \mathrm{~m} ; 8,0 \mathrm{~m}).

Passo 1

Resumindo: temos duas cargas pontuais no plano xy: \displaystyle q_{1}=-3{,}0\,\mu\mathrm{C}=-3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} em (-4{,}0,0) m e \displaystyle q_{3}=5{,}0\,\mu\mathrm{C}=5{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} em (2{,}0,-8{,}0) m.
Queremos o vetor campo elétrico resultante \vec E criado por q_{1} e q_{3} no ponto \displaystyle P=(2{,}0,8{,}0) m.
O conteúdo principal é a lei de Coulomb para campo elétrico de carga pontual, onde
\vec E = k\,q\,\frac{\vec r}{r^{3}},
com k\approx9{,}0\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e \vec r vetor que vai da carga até o ponto de interesse.

Passo 2

Calculamos primeiro o campo \vec E_{1} devido a q_{1}.
O vetor posição de q_{1} é \vec r_{q1}=(-4{,}0,0) m e do ponto P é \vec r_{P}=(2{,}0,8{,}0) m.
Então
\vec r_{1} = \vec r_{P}-\vec r_{q1} = (2-(-4),\,8-0) = (6,\,8)\\ \mathrm{m},
r_{1} = \bigl\lvert \vec r_{1}\bigr\rvert = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10\\ \mathrm{m}.
Logo
\vec E_{1} = k\,q_{1}\,\frac{\vec r_{1}}{r_{1}^{3}} = 9{,}0\times10^{9}\,\frac{-3{,}0\times10^{-6}}{10^{3}}\,(6,8) = 9{,}0\times10^{9}\times(-3{,}0\times10^{-9})\,(0{,}6,\,0{,}8).
Isso dá o módulo \displaystyle E_{1}=9{,}0\times10^{9}\cdot3{,}0\times10^{-9}=27{,}0\times10^{0}=270\\ \mathrm{N/C} e, como q_{1} é negativa, o vetor aponta em -\hat r_{1}. Portanto
\vec E_{1} = 270\,( -0{,}6\,\hat\imath \;-\;0{,}8\,\hat\jmath ) = (-162,\,-216)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

Agora o campo \vec E_{3} devido a q_{3}.
A carga está em \vec r_{q3}=(2{,}0,-8{,}0) m, de modo que
\vec r_{3} = \vec r_{P}-\vec r_{q3} = (2-2,\,8-(-8)) = (0,\,16)\\ \mathrm{m},
r_{3} = \lvert \vec r_{3}\rvert = 16\\ \mathrm{m}.
Como q_{3}=5{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} e é positiva,
\vec E_{3} = k\,q_{3}\,\frac{\vec r_{3}}{r_{3}^{3}} = 9{,}0\times10^{9}\,\frac{5{,}0\times10^{-6}}{16^{3}}\,(0,16).
Calculando o módulo:
E_{3} =9{,}0\times10^{9}\times\frac{5{,}0\times10^{-6}}{4096} =9{,}0\times10^{9}\times1{,}2207\times10^{-9}\approx11{,}0\times10^{0}=11{,}0\times10^{1}=110\\ \mathrm{N/C}.
Na direção de (0,1), ou seja
\vec E_{3} = (0,\,110)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Somamos vetorialmente:
\vec E = \vec E_{1} + \vec E_{3} = (-162,\,-216) + (0,\,110) = (-162,\,-106)\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle \vec E = -162\,\hat\imath \;-\;106\,\hat\jmath\quad[\mathrm{N/C}]

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