Um cilindro sólido de massa
e raio R conectado a uma mola horizontal harmônica, rola sem deslizar ao longo de uma superficie horizontal. Uma de constante elástica
é presa ao seu centro no centro do cilindro. Encontre: a) a equação para o movimento; b) o período para pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: um cilindro sólido (massa M, raio R) está preso por uma mola de constante k, rola sem deslizar numa superfície horizontal. A gente quer achar:
a) a equação de movimento (ou seja, a EDO que x(t) satisfaz)
b) o período das pequenas oscilações.
a) a equação de movimento (ou seja, a EDO que x(t) satisfaz)
b) o período das pequenas oscilações.
O que precisamos de teoria:
- Dinâmica de corpo rígido (Newton e torque).
- Condição de não deslizamento: aceleração de translação e rotação estão ligadas.
- Momento de inércia de um cilindro sólido:
. - Movimento harmônico simples.
Passo 2
Vamos definir x(t) como a deflexão da mola (positiva para a direita). A mola puxa o cilindro com força
. Pela 2ª lei de Newton para translação:
onde
é a força de contato que faz o cilindro girar sem deslizar.
Passo 3
Agora a rotação: escolha eixo no centro do cilindro, torque da força de atrito vai gerar aceleração angular
. A equação de torques é
com
.
E a condição de não deslizamento diz que a aceleração angular
e a de translação
estão ligadas por
Passo 4
Vamos eliminar
. Da rotação:
Substitui em
:
Então
mas peraí: revise o fator – como o atrito ajuda a travar, somamos massas efetivas. Fazendo direito:
e
. Então
Logo a equação de movimento é
Passo 5
Essa EDO é de MHS padrão
com
Então o período é
Resposta
a) Equação de movimento:
b) Período das pequenas oscilações: