Um cilindro sólido de massa M e raio R conectado a uma mola horizontal harmônica, rola sem deslizar ao longo de uma superficie horizontal. Uma de constante elástica k é presa ao seu centro no centro do cilindro. Encontre: a) a equação para o movimento; b) o período para pequenas oscilações.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: um cilindro sólido (massa M, raio R) está preso por uma mola de constante k, rola sem deslizar numa superfície horizontal. A gente quer achar:
a) a equação de movimento (ou seja, a EDO que x(t) satisfaz)
b) o período das pequenas oscilações.
O que precisamos de teoria:
  • Dinâmica de corpo rígido (Newton e torque).
  • Condição de não deslizamento: aceleração de translação e rotação estão ligadas.
  • Momento de inércia de um cilindro sólido: .
  • Movimento harmônico simples.

Passo 2

Vamos definir x(t) como a deflexão da mola (positiva para a direita). A mola puxa o cilindro com força M,ddot x = Frm mola + Frm atrito, . Pela 2ª lei de Newton para translação:
onde é a força de contato que faz o cilindro girar sem deslizar.

Passo 3

Agora a rotação: escolha eixo no centro do cilindro, torque da força de atrito vai gerar aceleração angular I,alpha = Frm atrito,R, . A equação de torques é
alpha = ddot xR
com .
E a condição de não deslizamento diz que a aceleração angular e a de translação estão ligadas por

Passo 4

Vamos eliminar Frm atrito = I,alphaR = tfrac12 M R^2cdot(ddot x/R)R = 12 M,ddot x . Da rotação:
M,ddot x = -k,x + tfrac12 M,ddot x Longrightarrow M,ddot x - tfrac12 M,ddot x = -k,x Longrightarrow tfrac12 M,ddot x = -k,x
Substitui em ddot x + 2kM,x = 0 :
M,ddot x = -k,x - Frm atrito (sinal do atrito contrária ao movimento)
Então
M,ddot x = -k,x + tfrac12 M,ddot x ;Rightarrow; 32 M,ddot x + k,x = 0
mas peraí: revise o fator – como o atrito ajuda a travar, somamos massas efetivas. Fazendo direito:
ddot x + k(3/2)M,x = 0 Longrightarrow ddot x + 2k3M,x = 0 á
e . Então
Logo a equação de movimento é

Passo 5

Essa EDO é de MHS padrão omega^2 = 2k3M com
T = 2piomega = 2pi,raiz3M2k
Então o período é

Resposta

a) Equação de movimento:
boxedddot x + 2k3M,x = 0
b) Período das pequenas oscilações:
boxedT = 2pi,raiz3M2k,

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