As cargas q 1 e q 2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x=-a e x=+a, respectivamente.
Qual deve ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática líquida sobre a carga +Q, colocada no ponto x=+a / 2, seja nula?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre as cargas:
  • Há uma carga q_1 em x=-a.
  • Há uma carga q_2 em x=+a.
  • Uma carga teste +Q está em x=+a/2.
  • Pergunta: qual deve ser a relação entre q_1 e q_2 para que a força eletrostática líquida sobre +Q seja nula?

Passo 2

Calcular as distâncias entre a carga +Q (em x=+a/2) e cada uma das cargas fontes:
  • Distância entre q_2 (em x=+a) e +Q é
r_2 = \left|+a - \frac{+a}{2}\right| = \frac{a}{2}.
  • Distância entre q_1 (em x=-a) e +Q é
r_1 = \left|\frac{+a}{2} - (-a)\right| = \frac{3a}{2}.

Passo 3

Lembrando a Lei de Coulomb (explicando devagar, tipo papo de amigo): a força elétrica entre duas cargas puntiformes tem módulo
F = k\frac{|q_{\text{fonte}}\,q_{\text{teste}}|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática, q_{\text{fonte}} é a carga que gera o campo, q_{\text{teste}} é a carga sobre a qual a força age, e r é a distância entre elas. O sentido depende dos sinais das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem; sinais opostos se atraem. Aqui Q é positiva ( +Q), então o sentido da força devido a cada fonte segue o sinal da carga fonte (positivo -> repulsão; negativo -> atração).

Passo 4

Determinar a direção (sinal, tomando + para direita) das forças sobre +Q:
  • A partir da posição, a unidade de direção do vetor que vai da carga fonte até +Q é:
    • Para q_1 (em -a) até +Q (em +a/2) a direção é para a direita ( +x).
    • Para q_2 (em +a) até +Q (em +a/2) a direção é para a esquerda ( -x).
  • Escrevendo as contribuições escalares (com sinal) das forças sobre +Q:
F_1 = k\frac{q_1 Q}{r_1^2}\quad\text{(positiva se empurra para a direita)}
F_2 = -\,k\frac{q_2 Q}{r_2^2}\quad\text{(negativa pois aponta para a esquerda)}
(obs.: aqui usei a convenção de sinais já incluindo a direção: F_2 tem sinal negativo no prefactor por vir da direita para a esquerda).

Passo 5

Para que a força líquida seja nula, o somatório das componentes deve ser zero:
F_{\text{líquida}} = F_1 + F_2 = 0.í
Substituindo as expressões:
k\frac{q_1 Q}{r_1^2} - k\frac{q_2 Q}{r_2^2} = 0.
Podemos simplificar dividindo por kQ (não nulos):
\frac{q_1}{r_1^2} - \frac{q_2}{r_2^2} = 0.

Passo 6

Isolar a relação entre q_1 e q_2:
\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{r_2^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}.
Agora substituímos as distâncias encontradas em Passo 2 ):
r_1 = \frac{3a}{2},\qquad r_2 = \frac{a}{2}.
Então
\frac{q_1}{q_2} = \frac{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^{\!2}}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2}} = \frac{\dfrac{9a^{2}}{4}}{\dfrac{a^{2}}{4}} = 9.
Portanto q_1 = 9\,q_2.

Passo 7

Interpretação física (importante para a prova): a relação obtida implica que q_1 e q_2 têm o mesmo sinal (porque o quociente é positivo). Se ambas forem positivas, q_1 empurra +Q para a direita enquanto q_2 empurra +Q para a esquerda e, com a intensidade relativa q_1=9q_2, as duas forças se cancelam. Se ambas forem negativas, as direções de atração trocam entre si, mas a mesma relação de magnitudes se aplica. Em resumo: a condição é q_1/q_2=9, com sinais iguais.

Resposta

q_1=9\,q_2

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