Um ônibus percorre a distância de 480 km , entre Santos e Curitiba, com velocidade escalar média de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. De Curitiba a Florianópolis, distantes 300 km , o ônibus desenvolve a velocidade escalar média de 75 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual é a velocidade escalar média do ônibus no percurso de Santos a Florianópolis?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade escalar média do ônibus no percurso total de Santos até Florianópolis. As informações dadas são: \;d_1=480\\ \mathrm{km} (Santos → Curitiba) com velocidade média \;v_1=60\\ \mathrm{km/h}, e \;d_2=300\\ \mathrm{km} (Curitiba → Florianópolis) com velocidade média \;v_2=75\\ \mathrm{km/h}. Queremos a velocidade escalar média no trajeto inteiro Santos → Florianópolis.

Passo 2

Conceito importante (aula curtinha): a velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Ou seja, se \;d_{\text{total}} é a soma das distâncias e \;t_{\text{total}} é a soma dos tempos, então
\bar v=\frac{d_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}.
Aqui é crucial entender que não se pode simplesmente tirar a média aritmética das velocidades ( \frac{v_1+v_2}{2}) — isso só funciona em casos específicos (por exemplo, quando os tempos são iguais). A razão é que velocidades diferentes correspondem a tempos diferentes para distâncias distintas, e a média deve levar isso em conta.

Passo 3

Definimos as variáveis de tempo para cada trecho. O tempo gasto em cada trecho é a distância dividida pela velocidade média daquele trecho:
t_1=\frac{d_1}{v_1},\qquad t_2=\frac{d_2}{v_2}.
Substituindo na definição da velocidade média obtemos a fórmula prática
\bar v=\frac{d_1+d_2}{t_1+t_2}=\frac{d_1+d_2}{\dfrac{d_1}{v_1}+\dfrac{d_2}{v_2}}.
Essa fórmula é a que vamos usar diretamente com os números do enunciado.

Passo 4

Calculemos o tempo do primeiro trecho. Usando \;t_1=\dfrac{d_1}{v_1} com \;d_1=480 e \;v_1=60:
t_1=\frac{480}{60}.
Fazendo a divisão: 60\times 8=480, logo
t_1=8\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Calculemos o tempo do segundo trecho. Usando \;t_2=\dfrac{d_2}{v_2} com \;d_2=300 e \;v_2=75:
t_2=\frac{300}{75}.
Fazendo a divisão: 75\times 4=300, logo
t_2=4\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Agora achamos a distância total e o tempo total. A distância total é
d_{\text{total}}=d_1+d_2=480+300=780\\ \mathrm{km}.
O tempo total é
t_{\text{total}}=t_1+t_2=8+4=12\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Aplicamos a definição da velocidade média:
\bar v=\frac{d_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}=\frac{780}{12}.
Fazendo a divisão: 12\times 65=780, então
\bar v=65\\ \mathrm{km/h}.
Como checagem rápida: o resultado fica entre \;60 e \;75 (faz sentido) e puxa mais para \;60 porque o ônibus rodou mais tempo/distância à velocidade menor.

Resposta

65\\ \mathrm{km/h}

Exercícios relacionados