Vimos que para o movimento com aceleração constante temos 5 equações que descreve a posição e a velocidade do movimento. Descreva (prove) como surge as 2 equações fundamentais (teoricamente) e qual sua importância.
v=v_{0}+a t
x-x_{0}=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para descrever e provar teoricamente como surgem as duas equações fundamentais do movimento com aceleração constante e explicar sua importância. As duas equações a serem justificadas são:
v = v_{0} + a t
x - x_{0} = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}
Informações e hipóteses dadas (ou necessárias) que vou usar:
  • Trata-se de movimento unidimensional (eixo x).
  • As variáveis envolvidas são v (velocidade no instante t), v_{0} (velocidade inicial no instante t=0), a (aceleração), t (tempo), x (posição no tempo t) e x_{0} (posição inicial no tempo t=0).
  • A hipótese crucial: a aceleração é constante, ou seja a(t)=a para todo t considerado.
  • Vou assumir um referencial inercial e que as condições iniciais são dadas em t=0.

Passo 2

Definições fundamentais (passo didático — o “porquê” das equações):
  • Definição de velocidade instantânea: a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em notação matemática:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa: se você conhece a função posição x(t), sua derivada nos dá a velocidade naquele instante.
  • Definição de aceleração instantânea: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Isto significa: aceleração diz quanto a velocidade muda por unidade de tempo. Essas definições ligam posição, velocidade e aceleração por derivadas (conceito básico de cálculo).

Passo 3

Derivação da primeira equação ( v = v_{0} + a t) usando integração:
  • Começamos da definição de aceleração e da hipótese de aceleração constante:
\frac{dv}{dt}=a,
onde a é constante. Isto é uma equação diferencial simples.
  • Separe variáveis e integre no intervalo de tempo de 0 até t. Escrevemos dv = a\,dt e integramos:
\int_{v_{0}}^{v} dv'=\int_{0}^{t} a\,dt'.
Aqui usei v' e t' como variáveis de integração para não confundir limites com variáveis dependentes.
  • A integral à esquerda é v - v_{0}. A integral à direita é a t porque a é constante:
v - v_{0} = a t.
  • Isolando v obtemos a primeira equação:
v = v_{0} + a t.
Explicação intuitiva: com aceleração constante, a velocidade varia linearmente no tempo; a inclinação dessa reta é a e o valor em t=0 é v_{0}.

Passo 4

Derivação da segunda equação ( x - x_{0} = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}) integrando a velocidade:
  • Partimos da definição v=\dfrac{dx}{dt} e substituímos a velocidade que já encontramos:
\frac{dx}{dt}=v_{0}+a t.
  • Separe variáveis: dx = (v_{0}+a t)\,dt. Integramos de 0 a t e de x_{0} a x:
\int_{x_{0}}^{x} dx' = \int_{0}^{t} (v_{0}+a t')\,dt'.
  • A integral do lado esquerdo dá x-x_{0}. A integral do lado direito separa-se em duas:
x-x_{0} = \int_{0}^{t} v_{0}\,dt' + \int_{0}^{t} a t'\,dt'.
  • Calcule cada integral: a integral de v_{0} (constante) é v_{0} t. A integral de a t' é a \cdot \tfrac{1}{2} t^{2}, pois \int_{0}^{t} t' \,dt' = \tfrac{1}{2} t^{2}. Logo
x - x_{0} = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
  • Interpretação física: o deslocamento é a soma da parte devido à velocidade inicial (movimento uniforme) e da parte adicional devido à aceleração (crescimento quadrático no tempo).

Passo 5

Derivação alternativa e verificação usando velocidade média (intuição útil em prova):
  • Para aceleração constante a velocidade varia linearmente entre v_{0} e v. Assim a velocidade média no intervalo [0,t] é a média aritmética dos extremos:
v_{\text{méd}}=\frac{v_{0}+v}{2}.é
  • Deslocamento é velocidade média vezes tempo:
x-x_{0}=v_{\text{méd}}\,t=\frac{v_{0}+v}{2}\,t.é
  • Substitua v da primeira equação v=v_{0}+a t:
x-x_{0}=\frac{v_{0} + (v_{0}+a t)}{2}\,t=\left(v_{0}+\tfrac{1}{2}a t\right)t=v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2},
o mesmo resultado. Esta via usa menos cálculo explícito e é prática em provas rápidas.

Passo 6

Observações importantes, limitações e importância prática (motivação e dicas de prova):
  • Assunção crítica: as equações valem somente quando a é constante (não dependente de t ou de x). Se a varia, é preciso integrar a(t) ou usar outras técnicas.
  • Convenção de sinais: escolha positiva/negativa para o eixo e mantenha consistência entre v_{0}, a e x-x_{0}. Por exemplo, se para cima for positivo e a aceleração da gravidade aponta para baixo, então a=-g.
  • Por que são fundamentais?
    • Relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo sem precisar conhecer a função completa x(t) a priori.
    • Permitem resolver muitos problemas de cinemática apenas algebraicamente (sem cálculo explícito), especialmente usando a forma alternativa x-x_{0}=\tfrac{v+v_{0}}{2}t.
    • São a base para deduzir as demais equações cinemáticas (por exemplo \,v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})) e para conectar com conservação de energia em situações específicas.
  • Dica de prova: identifique quais quantidades você conhece e a procura; escolha a equação que tem exatamente uma incógnita (ou que torne fácil eliminar uma variável usando outra equação). Verifique unidades (por exemplo a em \text{m/s}^{2}, v em \text{m/s}, x em \text{m}).

Resposta

v = v_{0} + a t
x - x_{0} = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}

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