Vimos que para o movimento com aceleração constante temos 5 equações que descreve a posição e a velocidade do movimento. Descreva (prove) como surge as 2 equações fundamentais (teoricamente) e qual sua importância.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e provar teoricamente como surgem as duas equações fundamentais do movimento com aceleração constante e explicar sua importância. As duas equações a serem justificadas são:
Informações e hipóteses dadas (ou necessárias) que vou usar:
- Trata-se de movimento unidimensional (eixo
). - As variáveis envolvidas são
(velocidade no instante ), (velocidade inicial no instante ), (aceleração), (tempo), (posição no tempo ) e (posição inicial no tempo ). - A hipótese crucial: a aceleração é constante, ou seja
para todo considerado. - Vou assumir um referencial inercial e que as condições iniciais são dadas em
.
Passo 2
Definições fundamentais (passo didático — o “porquê” das equações):
- Definição de velocidade instantânea: a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em notação matemática:
Isto significa: se você conhece a função posição
, sua derivada nos dá a velocidade naquele instante.
- Definição de aceleração instantânea: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
Isto significa: aceleração diz quanto a velocidade muda por unidade de tempo. Essas definições ligam posição, velocidade e aceleração por derivadas (conceito básico de cálculo).
Passo 3
Derivação da primeira equação (
) usando integração:
- Começamos da definição de aceleração e da hipótese de aceleração constante:
onde
é constante. Isto é uma equação diferencial simples.
- Separe variáveis e integre no intervalo de tempo de
até . Escrevemos e integramos:
Aqui usei
e
como variáveis de integração para não confundir limites com variáveis dependentes.
- A integral à esquerda é
. A integral à direita é porque é constante:
- Isolando
obtemos a primeira equação:
Explicação intuitiva: com aceleração constante, a velocidade varia linearmente no tempo; a inclinação dessa reta é
e o valor em
é
.
Passo 4
Derivação da segunda equação (
) integrando a velocidade:
- Partimos da definição
e substituímos a velocidade que já encontramos:
- Separe variáveis:
. Integramos de a e de a :
- A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito separa-se em duas:
- Calcule cada integral: a integral de
(constante) é . A integral de é , pois . Logo
- Interpretação física: o deslocamento é a soma da parte devido à velocidade inicial (movimento uniforme) e da parte adicional devido à aceleração (crescimento quadrático no tempo).
Passo 5
Derivação alternativa e verificação usando velocidade média (intuição útil em prova):
- Para aceleração constante a velocidade varia linearmente entre
e . Assim a velocidade média no intervalo é a média aritmética dos extremos:
- Deslocamento é velocidade média vezes tempo:
- Substitua
da primeira equação :
o mesmo resultado. Esta via usa menos cálculo explícito e é prática em provas rápidas.
Passo 6
Observações importantes, limitações e importância prática (motivação e dicas de prova):
- Assunção crítica: as equações valem somente quando
é constante (não dependente de ou de ). Se varia, é preciso integrar ou usar outras técnicas. - Convenção de sinais: escolha positiva/negativa para o eixo e mantenha consistência entre
, e . Por exemplo, se para cima for positivo e a aceleração da gravidade aponta para baixo, então . - Por que são fundamentais?
- Relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo sem precisar conhecer a função completa
a priori. - Permitem resolver muitos problemas de cinemática apenas algebraicamente (sem cálculo explícito), especialmente usando a forma alternativa
. - São a base para deduzir as demais equações cinemáticas (por exemplo
) e para conectar com conservação de energia em situações específicas.
- Relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo sem precisar conhecer a função completa
- Dica de prova: identifique quais quantidades você conhece e a procura; escolha a equação que tem exatamente uma incógnita (ou que torne fácil eliminar uma variável usando outra equação). Verifique unidades (por exemplo
em , em , em ).