As cargas q1 e q2 estão localizadas no eixo x, a distânicias a e b, respectivamente da origem.
(a) Determine o vetor campo elétrico no ponto \mathbf{P}(\mathbf{0 , y}).
(b) Avalie o campo elétrico no ponto P para o caso especial em que \left|q_{1}\right|=\left|q_{2}\right| e a=b (dipolo elétrico).
(c) Determine o campo elétrico estabelecido pelo dipolo elétrico quando o ponto P está a uma distância y >>> a da origem.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar o vetor campo elétrico no ponto \mathbf{P}(0,y) produzido por duas cargas q_1 e q_2 localizadas sobre o eixo x, a distâncias a e b da origem, respectivamente.
  • (b) Avaliar esse campo para o caso especial de dipolo, isto é, quando \left|q_1\right|=\left|q_2\right| e a=b.
  • (c) Determinar o campo do dipolo quando y\gg a (ponto muito distante ao longo do eixo y).
Informações e convenções que vou usar (isto é parte do enunciado interpretado de forma usual):
  • Vou tomar q_1 localizada em x=+a (posição (a,0)) e q_2 localizada em x=-b (posição (-b,0)). Esta escolha faz com que, quando a=b, as cargas fiquem simetricamente em relação à origem em \pm a, como num dipolo.
  • O ponto de interesse é P=(0,y) com y>0 (o raciocínio vale análogo para y<0 mudando sinais quando necessário).
  • Constantes: constante eletrostática \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} aparecerá várias vezes.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb em forma vetorial (rápida aula): o campo elétrico gerado por uma carga pontual q localizada no ponto \mathbf{r}_q no ponto \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}_q).
Aqui \mathbf{r}-\mathbf{r}_q é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo; o módulo |\mathbf{r}-\mathbf{r}_q| é a distância entre eles. A direção do campo vem desse vetor multiplicado por q: se q>0 o campo aponta para longe da carga; se q<0 aponta para a carga.

Passo 3

Calcular os vetores posição relativos e suas normas (isto é importante para montar os vetores campo).
  • Para q_1 em (a,0) e P=(0,y), o vetor de q_1 para P é
\mathbf{r}_1=\mathbf{r}-\mathbf{r}_{q_1}=(0-a,\,y-0)=(-a,\,y).
A distância é
r_1=|\mathbf{r}_1|=\sqrt{a^2+y^2}.
  • Para q_2 em (-b,0) e P=(0,y), o vetor é
\mathbf{r}_2=\mathbf{r}-\mathbf{r}_{q_2}=(0-(-b),\,y-0)=(b,\,y).
A distância é
r_2=|\mathbf{r}_2|=\sqrt{b^2+y^2}.

Passo 4

Aplicar a lei de Coulomb para cada carga e escrever os componentes. Usando a fórmula vetorial do Passo 2:
  • Campo devido a q_1:
\mathbf{E}_1=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1}{r_1^3}\,\mathbf{r}_1 =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1}{(a^2+y^2)^{3/2}}(-a\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}}).
  • Campo devido a q_2:
\mathbf{E}_2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_2}{r_2^3}\,\mathbf{r}_2 =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_2}{(b^2+y^2)^{3/2}}(b\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}}).

Passo 5

Somar \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2 para obter o campo total em P. Somando componentes x e y:
  • Componente x:
E_x=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\dfrac{q_1 a}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{q_2 b}{(b^2+y^2)^{3/2}}\right].
  • Componente y:
E_y=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{q_1 y}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{q_2 y}{(b^2+y^2)^{3/2}}\right] =\dfrac{y}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{q_1}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{q_2}{(b^2+y^2)^{3/2}}\right].
Portanto o vetor campo elétrico em P é
\mathbf{E}(0,y)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{q_1(-a\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}})}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{q_2(b\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}})}{(b^2+y^2)^{3/2}}\right].
Isto responde a parte (a) de forma explícita em componentes.

Passo 6

Agora (b): caso dipolo elétrico. Interpretação física usual: as cargas têm mesma magnitude e sinais opostos e estão simetricamente localizadas, ou seja \left|q_1\right|=\left|q_2\right| e a=b, e tomo \,q_1=+q,\; q_2=-q e b=a. Substituindo nas componentes obtidas:
  • Primeiro a componente y:
E_y=\dfrac{y}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{q}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{-q}{(a^2+y^2)^{3/2}}\right]=0.
Ou seja, os dois termos em y se anulam — a componente vertical desaparece por simetria/complemento de sinais.
  • Componente x:
E_x=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\dfrac{q a}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{(-q) a}{(a^2+y^2)^{3/2}}\right] =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\dfrac{2q a}{(a^2+y^2)^{3/2}}\right].
Portanto, para o dipolo com q_1=+q em +a e q_2=-q em -a,
\mathbf{E}(0,y)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2aq}{(a^2+y^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}.
É útil definir o momento de dipolo (vetor) \mathbf{p}. Para duas cargas -q em -a e +q em +a o momento de dipolo aponta do negativo para o positivo e tem módulo p=2aq, portanto \mathbf{p}=p\,\hat{\mathbf{x}}=(2aq)\,\hat{\mathbf{x}}. Em termos de \mathbf{p}:
\mathbf{E}(0,y)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{(a^2+y^2)^{3/2}}.
Observação física e de sinal: o sinal negativo indica que o campo em P aponta no sentido -\hat{\mathbf{x}} se \mathbf{p} aponta em +\hat{\mathbf{x}}; isto depende de qual carga foi tomada positiva — o importante é a direção relativa entre \mathbf{p} e o eixo.

Passo 7

Finalmente (c): caso y\gg a (ponto muito distante). Vamos aproximar o denominador por uma expansão para a^2/y^2\ll1. Usando a expansão binomial
(a^2+y^2)^{3/2}=y^3\left(1+\dfrac{a^2}{y^2}\right)^{3/2}\approx y^3\left(1+\dfrac{3}{2}\dfrac{a^2}{y^2}+\cdots\right),
a ordem dominante é y^3. Então, mantendo apenas o termo principal,
\mathbf{E}(0,y)\approx -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2aq}{y^3}\,\hat{\mathbf{x}}.
Em termos do momento de dipolo \mathbf{p}=(2aq)\,\hat{\mathbf{x}}:
\mathbf{E}(0,y)\approx -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{y^3}.
Comentário didático: isto mostra uma propriedade importante — o campo de um dipolo decai como 1/y^3 bem longe do dipolo, mais rápido que o campo de uma carga pontual (que decai como 1/y^2). Na prova: para obter o limite basta substituir (a^2+y^2)^{3/2} por y^3 quando y domina.

Resposta

\mathbf{E}(0,y)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{q_1(-a\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}})}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\dfrac{q_2(b\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}})}{(b^2+y^2)^{3/2}}\right]\n
\mathbf{E}(0,y)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2a q}{(a^2+y^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}\quad(\text{para }q_1=+q,\;q_2=-q,\;a=b)\n
\mathbf{E}(0,y)\approx -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2a q}{y^3}\,\hat{\mathbf{x}} = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{y^3}\,\hat{\mathbf{x}}\quad(\text{para }y\gg a,\\ \mathbf{p}=2aq\,\hat{\mathbf{x}})

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