As cargas q1 e q2 estão localizadas no eixo x, a distânicias a e b, respectivamente da origem.
(a) Determine o vetor campo elétrico no ponto
.
(b) Avalie o campo elétrico no ponto P para o caso especial em que
e
(dipolo elétrico).
(c) Determine o campo elétrico estabelecido pelo dipolo elétrico quando o ponto P está a uma distância y >>> a da origem.
(a) Determine o vetor campo elétrico no ponto
(b) Avalie o campo elétrico no ponto P para o caso especial em que
(c) Determine o campo elétrico estabelecido pelo dipolo elétrico quando o ponto P está a uma distância y >>> a da origem.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar o vetor campo elétrico no ponto
produzido por duas cargas e localizadas sobre o eixo , a distâncias e da origem, respectivamente. - (b) Avaliar esse campo para o caso especial de dipolo, isto é, quando
e . - (c) Determinar o campo do dipolo quando
(ponto muito distante ao longo do eixo ).
Informações e convenções que vou usar (isto é parte do enunciado interpretado de forma usual):
- Vou tomar
localizada em (posição ) e localizada em (posição ). Esta escolha faz com que, quando , as cargas fiquem simetricamente em relação à origem em , como num dipolo. - O ponto de interesse é
com (o raciocínio vale análogo para mudando sinais quando necessário). - Constantes: constante eletrostática
aparecerá várias vezes.
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb em forma vetorial (rápida aula): o campo elétrico gerado por uma carga pontual
localizada no ponto
no ponto
é
Aqui
é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo; o módulo
é a distância entre eles. A direção do campo vem desse vetor multiplicado por
: se
o campo aponta para longe da carga; se
aponta para a carga.
Passo 3
Calcular os vetores posição relativos e suas normas (isto é importante para montar os vetores campo).
- Para
em e , o vetor de para é
A distância é
- Para
em e , o vetor é
A distância é
Passo 4
Aplicar a lei de Coulomb para cada carga e escrever os componentes. Usando a fórmula vetorial do Passo 2:
- Campo devido a
:
- Campo devido a
:
Passo 5
Somar
e
para obter o campo total em
. Somando componentes
e
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o vetor campo elétrico em
é
Isto responde a parte (a) de forma explícita em componentes.
Passo 6
Agora (b): caso dipolo elétrico. Interpretação física usual: as cargas têm mesma magnitude e sinais opostos e estão simetricamente localizadas, ou seja
e
, e tomo
e
. Substituindo nas componentes obtidas:
- Primeiro a componente
:
Ou seja, os dois termos em
se anulam — a componente vertical desaparece por simetria/complemento de sinais.
- Componente
:
Portanto, para o dipolo com
em
e
em
,
É útil definir o momento de dipolo (vetor)
. Para duas cargas
em
e
em
o momento de dipolo aponta do negativo para o positivo e tem módulo
, portanto
. Em termos de
:
Observação física e de sinal: o sinal negativo indica que o campo em
aponta no sentido
se
aponta em
; isto depende de qual carga foi tomada positiva — o importante é a direção relativa entre
e o eixo.
Passo 7
Finalmente (c): caso
(ponto muito distante). Vamos aproximar o denominador por uma expansão para
. Usando a expansão binomial
a ordem dominante é
. Então, mantendo apenas o termo principal,
Em termos do momento de dipolo
:
Comentário didático: isto mostra uma propriedade importante — o campo de um dipolo decai como
bem longe do dipolo, mais rápido que o campo de uma carga pontual (que decai como
). Na prova: para obter o limite basta substituir
por
quando
domina.