O carismático piloto de corrida Rubens Barrichello decidiu dirigir tranquilamente a sua Ferrari até avistar um radar, quando tinha velocidade de 21 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . t segundos mais tarde, sabe-se que a sua velocidade, em m / s, v(t), está variando a uma taxa, \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, v^{\prime}(t)=-e^{-\frac{1}{4} t}, t. Faça o que se pede
a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade do corredor, v(t).
b) Sabendo que o lendário piloto demorou 8 s para passar pelo radar e que o limite de velocidade era de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, podemos afirmar que ele foi multado? Justifique. Use a aproximação \frac{1}{e^{2}} \approx 0,1.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade inicial
v(0)=21,m/s e a taxa de variação da velocidade
v'(t)=-e^{-t/4},m/ s^{2}.
Queremos achar a expressão analítica de v(t) (integração de v'(t)) e, em seguida, avaliar se em t=8,s ele ainda excede o limite de 12,m/s.

Passo 2

Integramos v'(t) para obter v(t).
v(t)=\int v'(t)\,dt=\int \Bigl(-e^{-t/4}\Bigr)\,dt =-\int e^{-t/4}\,dt.
Fazendo a substituição u=-\tfrac{t}{4}, temos \,dt=-4\,du, logo
-\int e^{-t/4}\,dt =-\bigl(-4e^{-t/4}\bigr)+C =4e^{-t/4}+C.

Passo 3

Usamos a condição inicial v(0)=21:
v(0)=4e^{0}+C=4+C=21 \quad\Longrightarrow\quad C=17.
Portanto
v(t)=17+4e^{-t/4}.

Passo 4

Para t=8,s,
v(8)=17+4e^{-8/4}=17+4e^{-2}\approx17+4\cdot0,1=17,4\text{ m/s}.
Como 17,4>12,m/s, ele ainda estava acima do limite ao passar pelo radar.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=17+4e^{-t/4}.
b) Sim. Em t=8,s ocorre
v(8)\approx17,4,m/s, bem acima dos 12,m/s permitidos, logo ele foi multado.

Exercícios relacionados