Considere a função
. Faça o que se pede:
a) Encontre os números criticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
dos máximos e minimos locais de
.
b) Determine a coordenada
de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e minimos globais de
dentro do intervalo
. Justifique.
a) Encontre os números criticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
b) Determine a coordenada
c) Calcule os máximos e minimos globais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em (a), os números críticos, os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais; em (b), os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade; em (c), os máximos e mínimos globais em
. Para isso, vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e extremos locais, a derivada segunda para concavidade e inflexões, e avaliar nos pontos críticos e extremos de intervalo para os globais.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Os números críticos vêm de
, ou seja,
Para estudar o sinal de
, examinamos os intervalos:
- Se
, então e , logo (cresce). - Se
, então e , logo (decresce). - Se
, então e , logo (cresce).
Portanto:
- Cresce em
e . - Decresce em
.
Emocorre mudança de crescente para decrescente máximo local em . Em ocorre mudança de decrescente para crescente mínimo local em . As coordenadas são
Passo 3
Agora a derivada segunda:
Temos
em
(multiplicidade
) e
. Para a concavidade:
- Se
, o fator e , então : concava para baixo em . - Se
, o fator , então : concava para cima em .
A única troca de sinal de
ocorre em
, que é ponto de inflexão. Sua ordenada é
Passo 4
Para achar extremos globais em
, avaliamos
nos pontos críticos dentro do intervalo (
) e nas extremidades (
):
Comparando, o menor valor é
em
e o maior é
em
. Pelo Teorema do Valor Extremo (função contínua em intervalo fechado), estes são mínimo e máximo globais, respectivamente.
Resposta
(a) Números críticos:
. Cresce em
e
, decresce em
. Máximo local em
, mínimo local em
.
(b) Ponto de inflexão em . Concava para baixo em
e para cima em
.
(c) No intervalo , mínimo global em
e máximo global em
.
(b) Ponto de inflexão em
(c) No intervalo