Considere a função f(x)=x^{5}-2,5 x^{4}. Faça o que se pede:
a) Encontre os números criticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada x dos máximos e minimos locais de f(x).
b) Determine a coordenada x de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e minimos globais de f(x) dentro do intervalo [0,3]. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{5}-2,5\,x^{4}
e pede, em (a), os números críticos, os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais; em (b), os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade; em (c), os máximos e mínimos globais em [0,3]. Para isso, vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e extremos locais, a derivada segunda para concavidade e inflexões, e avaliar nos pontos críticos e extremos de intervalo para os globais.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-2,5\,x^{4}\bigr) =5\,x^{4}-10\,x^{3} =5\,x^{3}(x-2).
Os números críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
5\,x^{3}(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Para estudar o sinal de f', examinamos os intervalos:
  • Se x<0, então x^{3}<0 e (x-2)<0, logo f'(x)>0 (cresce).
  • Se 0<x<2, então x^{3}>0 e (x-2)<0, logo f'(x)<0 (decresce).
  • Se x>2, então x^{3}>0 e (x-2)>0, logo f'(x)>0 (cresce).
Portanto:
  • Cresce em (-\infty,0) e (2,\infty).
  • Decresce em (0,2).
    Em x=0 ocorre mudança de crescente para decrescente \to máximo local em x=0. Em x=2 ocorre mudança de decrescente para crescente \to mínimo local em x=2. As coordenadas são
f(0)=0, \qquad f(2)=2^{5}-2,5\cdot2^{4}=32-40=-8.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}-10x^{3}\bigr) =20x^{3}-30x^{2} =10x^{2}(2x-3).
Temos f''(x)=0 em x=0 (multiplicidade 2) e x=\tfrac{3}{2}. Para a concavidade:
  • Se x<\tfrac{3}{2}, o fator (2x-3)<0 e 10x^{2}\ge0, então f''(x)\le0: concava para baixo em (-\infty,\tfrac{3}{2}).
  • Se x>\tfrac{3}{2}, o fator (2x-3)>0, então f''(x)>0: concava para cima em (\tfrac{3}{2},\infty).
A única troca de sinal de f'' ocorre em x=\tfrac{3}{2}, que é ponto de inflexão. Sua ordenada é
f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) =\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{5}-2,5\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{4} =\frac{243}{32}-2,5\cdot\frac{81}{16} =\frac{243}{32}-\frac{405}{32} =-\frac{162}{32} =-\frac{81}{16}.

Passo 4

Para achar extremos globais em [0,3], avaliamos f nos pontos críticos dentro do intervalo ( x=0,2) e nas extremidades ( x=0,3):
f(0)=0, \quad f(2)=-8, \quad f(3)=3^{5}-2,5\cdot3^{4}=243-202{,}5=40{,}5.
Comparando, o menor valor é -8 em x=2 e o maior é 40{,}5 em x=3. Pelo Teorema do Valor Extremo (função contínua em intervalo fechado), estes são mínimo e máximo globais, respectivamente.

Resposta

(a) Números críticos: x=0,2. Cresce em (-\infty,0) e (2,\infty), decresce em (0,2). Máximo local em (0,0), mínimo local em (2,-8).
(b) Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{81}{16}\bigr). Concava para baixo em (-\infty,\tfrac{3}{2}) e para cima em (\tfrac{3}{2},\infty).
(c) No intervalo [0,3], mínimo global em (2,-8) e máximo global em (3,40{,}5).

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