Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a^{\prime}} , calcule as seguintes integrais
\int \frac{2 x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{3}(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{3}(x+1)} \,dx.
Este é um caso de função racional. Para resolvê-la, vamos usar decomposição em frações parciais, depois integrar termo a termo.

Passo 2

Assumimos a forma da decomposição
\frac{2x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{3}(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}} + \frac{D}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{3}(x+1), obtemos a identidade
2x^{3} + x^{2} + x + 1 = A\,x^{2}(x+1) + B\,x(x+1) + C\,(x+1) + D\,x^{3}.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^{2}(x+1) + B x(x+1) + C(x+1) + D x^{3} = (A + D)x^{3} + (A + B)x^{2} + (B + C)x + C.
Comparando coeficientes com 2x^{3}+x^{2}+x+1\), temos o sistema: \[\begin{cases} A + D = 2,\\\ A + B = 1,\\\ B + C = 1,\\\ C = 1. \end{cases}
Da última equação C=1\]. Então \(B+1=1\implies B=0. A seguir A+0=1\implies A=1. Por fim 1+D=2\implies D=1.

Passo 4

Substituindo A=1, B=0, C=1, D=1, a integranda fica
\frac{2x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{3}(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{0}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x+1}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|,\quad \int \frac{1}{x^{3}}\,dx = \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}},\quad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.
Somando,
\int \frac{2x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{3}(x+1)}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| \;-\;\frac{1}{2x^{2}}\;+\;\ln\bigl|x+1\bigr|\;+\;C.

Resposta

\boxed{ \ln\bigl|x(x+1)\bigr| \;-\;\frac{1}{2x^{2}} \;+\; C }

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