Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a^{\prime}} , calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt{1+2 \ln (x) }} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{1+2\ln(x)}}\,dx.
Este é um caso típico para usar substituição em que aparecem \ln(x) e 1/x. Vamos definir uma nova variável que simplifique o radicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2\ln(x).
Como \ln(x)' = 1/x, temos
du = 2\,\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}\,dx = \frac{du}{2}.
Também ajustamos os limites: quando x=1, \ln(1)=0 u=1; quando x=e, \ln(e)=1 u=3.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{1+2\ln(x)}}\,dx = \int_{u=1}^{u=3}\frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} =2\,u^{\tfrac12}.
Logo,
\frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[2\,u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{3} = \bigl[\sqrt{u}\bigr]_{1}^{3} = \sqrt{3}-\sqrt{1}.

Resposta

\sqrt{3}-1

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