Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular de área 100 \mathrm{~m}^{2}, dentro de sua fazenda, para abrigar seus gados. Mas, ele ainda não sabe qual deve ser a medida de seus lados. Como critério de escolha, deseja-se selecionar, dentro das possibilidades, aquele que minimize seu gasto com o cercamento, ou seja, o de menor perimetro. Qual deve ser a medida de cada aresta? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede um retângulo de área 100\:\mathrm{m}^2 cujo perímetro seja mínimo. O conteúdo utilizado será otimização de função com restrição (área fixa), usando derivadas para encontrar o mínimo.

Passo 2

Definimos as variáveis dos lados do retângulo: seja x a medida de um lado e y a do outro. Temos a restrição de área
xy = 100
e queremos minimizar o perímetro
P = 2x + 2y.

Passo 3

Usamos a restrição para expressar y em função de x:
y = \frac{100}{x}.
Substituindo em P, obtemos
P(x) = 2x + 2\!\biggl(\frac{100}{x}\biggr) = 2x + \frac{200}{x}.

Passo 4

Calculamos a derivada de P(x) e igualamos a zero para achar candidatos a extremo:
P'(x) = 2 - \frac{200}{x^2}.
Logo,
2 - \frac{200}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{200}{x^2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 100 \quad\Longrightarrow\quad x = 10\quad(\text{já que }x>0).á

Passo 5

Verificamos que esse ponto é mínimo usando a segunda derivada:
P''(x) = \frac{400}{x^3},
que em x=10 é positivo, confirmando mínimo. Então
y = \frac{100}{x} = \frac{100}{10} = 10.

Resposta

As medidas que minimizam o perímetro são 10\:\mathrm{m} por 10\:\mathrm{m}.

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