Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular de área
, dentro de sua fazenda, para abrigar seus gados. Mas, ele ainda não sabe qual deve ser a medida de seus lados. Como critério de escolha, deseja-se selecionar, dentro das possibilidades, aquele que minimize seu gasto com o cercamento, ou seja, o de menor perimetro. Qual deve ser a medida de cada aresta? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede um retângulo de área
cujo perímetro seja mínimo. O conteúdo utilizado será otimização de função com restrição (área fixa), usando derivadas para encontrar o mínimo.
Passo 2
Definimos as variáveis dos lados do retângulo: seja
a medida de um lado e
a do outro. Temos a restrição de área
e queremos minimizar o perímetro
Passo 3
Usamos a restrição para expressar
em função de
:
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero para achar candidatos a extremo:
Logo,
Passo 5
Verificamos que esse ponto é mínimo usando a segunda derivada:
que em
é positivo, confirmando mínimo. Então
Resposta
As medidas que minimizam o perímetro são
por
.