1. (Carlos) Encontre os valores de a, b \in \mathbb{R} para os quais o operador T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(a x+3 y,-b x-y) possui como autovalores, os números \lambda_{0}=1 e \lambda_{1}=2.

Passo 1

O enunciado pede para achar a,b\in\mathbb{R} de modo que o operador linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(ax+3y,\,-b\,x-y)
tenha como autovalores \lambda_0=1 e \lambda_1=2.
Conteúdo: autovalores de matriz 2\times2 via polinômio característico.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} a & 3\\\\ -b & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\chi(\lambda)=\det(M-\lambda I) =(a-\lambda)(-1-\lambda)-3(-b).
Expandindo,
\chi(\lambda)=-(a-\lambda)(1+\lambda)+3b =\lambda^2+(1-a)\,\lambda+(3b-a).

Passo 4

Como os autovalores são 1 e 2, deve valer
\chi(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2) =\lambda^2-3\lambda+2.
Comparando coeficientes de \lambda e termo constante:
1 - a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a=4,
3b - a = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3b - 4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad b=2.

Resposta

a=4,\;b=2

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