Carlos tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:
i) três prestações mensais de \mathrm{R} \ 1600,00$ cada;
ii) sete prestações mensais de \mathrm{R} \ 70,00$ cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2 \% a.m para Carlos, qual a melhor opção que Carlos possui?

Passo 1

O enunciado pede que comparemos duas opções de pagamento e escolha a melhor para Carlos, sabendo que o dinheiro vale 2\% ao mês para ele. Dados fornecidos:
  • Opção i): três prestações mensais de \mathrm{R}\$\,1600,00 cada; a primeira prestação é paga no ato da compra (ou seja, no tempo 0).
  • Opção ii): sete prestações mensais de \mathrm{R}\$\,70,00 cada; a primeira prestação é paga no ato da compra (tempo 0).
  • Taxa de juros (taxa de desconto para Carlos): i=2\% ao mês, isto é i=0{,}02.
Pergunta explícita: qual das duas opções é melhor para Carlos, dado que o dinheiro tem valor no tempo de 2\% a.m.?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): valor presente de pagamentos futuros.
  • Uma quantia C paga no tempo k meses tem valor presente (no tempo 0) dado por
\text{PV}=\frac{C}{(1+i)^{k}},
onde \text{PV} significa “present value” (valor presente), C é o valor da parcela e i é a taxa por período ( i=0{,}02 aqui).
  • Observação importante: se uma parcela é paga no ato (tempo 0), ela não é descontada; seu valor presente é exatamente ela mesma ( k=0 \frac{C}{(1+i)^0}=C).
  • Para várias parcelas em diferentes tempos somamos os valores presentes de cada parcela; isso nos dá o custo real da opção na ótica de Carlos. A opção com menor valor presente é melhor para ele (ele prefere pagar menos em valor atual).

Passo 3

Aplicando o conceito à Opção i). As parcelas estão em k=0,1,2 meses, todas de \mathrm{R}\$\,1600,00. Logo o valor presente da opção i) é
\text{PV}_{\text{i}}=1600+\frac{1600}{1{,}02}+\frac{1600}{(1{,}02)^{2}}.
Agora calculamos term a termo (vou mostrar as contas para você poder repetir sem calculadora com passos claros):
  • (1{,}02)^{2}=1{,}0404.
  • Segunda parcela descontada: \dfrac{1600}{1{,}02}. Podemos calcular \dfrac{1}{1{,}02}\approx 0{,}9803921569, então
\frac{1600}{1{,}02}\approx 1600\times 0{,}9803921569\approx 1568{,}62745098.
  • Terceira parcela descontada: \dfrac{1600}{1{,}0404}. Calculando diretamente,
\frac{1600}{1{,}0404}\approx 1537{,}870603.
Somando os três termos:
\text{PV}_{\text{i}}\approx 1600 + 1568{,}62745098 + 1537{,}870603 \approx 4706{,}498054.
Arredondando para centavos:
\text{PV}_{\text{i}}\approx \mathrm{R}\$\,4.706{,}50.

Passo 4

Aplicando o conceito à Opção ii). As sete parcelas de \mathrm{R}\$\,70,00 ocorrem em k=0,1,2,3,4,5,6. O valor presente é
\text{PV}_{\text{ii}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{70}{(1{,}02)^{k}}.
Isto é uma soma geométrica com razão v=\dfrac{1}{1{,}02}. A soma de uma série geométrica finita é
\sum_{k=0}^{n} v^{k}=\frac{1-v^{\,n+1}}{1-v}.
Usando v=\dfrac{1}{1{,}02} e n=6, obtemos
\text{PV}_{\text{ii}}=70\cdot\frac{1-v^{7}}{1-v}.
Agora calculamos passo a passo:
  • v=\dfrac{1}{1{,}02}\approx 0{,}9803921568627451.
  • Calculamos (1{,}02)^{7} por multiplicações sucessivas:
(1{,}02)^{2}=1{,}0404,\quad (1{,}02)^{3}=1{,}061208,\quad (1{,}02)^{4}=1{,}08243216,
(1{,}02)^{5}=1{,}1040808032,\quad (1{,}02)^{6}=1{,}126162419264,\quad (1{,}02)^{7}=1{,}14868566764928.
  • Logo v^{7}=\dfrac{1}{(1{,}02)^{7}}\approx 0{,}8705505633.
  • Agora o numerador 1-v^{7}\approx 0{,}1294494367 e o denominador 1-v\approx 0{,}0196078431.
  • Dividindo:
\frac{1-v^{7}}{1-v}\approx \frac{0{,}1294494367}{0{,}0196078431}\approx 6{,}604135.
  • Multiplicando por 70:
\text{PV}_{\text{ii}}\approx 70\times 6{,}604135\approx 462{,}28945.
Arredondando para centavos:
\text{PV}_{\text{ii}}\approx \mathrm{R}\$\,462{,}29.

Passo 5

Comparação e conclusão: como Carlos prefere a opção que lhe custa menos em valor presente, comparamos
\text{PV}_{\text{i}}\approx \mathrm{R}\$\,4.706{,}50\quad\text{versus}\quad \text{PV}_{\text{ii}}\approx \mathrm{R}\$\,462{,}29.
A Opção ii) tem valor presente muito menor; portanto é a melhor escolha para Carlos. Você pode checar mentalmente: as parcelas da opção ii) somam nominalmente \mathrm{R}\$\,490,00 no total, enquanto a opção i) soma \mathrm{R}\$\,4.800,00; descontando pelo valor do dinheiro no tempo a diferença permanece grande, favorecendo claramente a opção ii). Força aí — opção ii) é a certa!

Resposta

Opção ii) — \text{PV}_{\text{i}}\approx\mathrm{R}\$\,4.706{,}50,\;\text{PV}_{\text{ii}}\approx\mathrm{R}\$\,462{,}29.

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