Carlos tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:
i) três prestações mensais de
1600,00$ cada;
ii) sete prestações mensais de
70,00$ cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale
a.m para Carlos, qual a melhor opção que Carlos possui?
i) três prestações mensais de
ii) sete prestações mensais de
Passo 1
O enunciado pede que comparemos duas opções de pagamento e escolha a melhor para Carlos, sabendo que o dinheiro vale
ao mês para ele. Dados fornecidos:
- Opção i): três prestações mensais de
cada; a primeira prestação é paga no ato da compra (ou seja, no tempo ). - Opção ii): sete prestações mensais de
cada; a primeira prestação é paga no ato da compra (tempo ). - Taxa de juros (taxa de desconto para Carlos):
ao mês, isto é .
Pergunta explícita: qual das duas opções é melhor para Carlos, dado que o dinheiro tem valor no tempo de
a.m.?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): valor presente de pagamentos futuros.
- Uma quantia
paga no tempo meses tem valor presente (no tempo ) dado por
onde
significa “present value” (valor presente),
é o valor da parcela e
é a taxa por período (
aqui).
- Observação importante: se uma parcela é paga no ato (tempo
), ela não é descontada; seu valor presente é exatamente ela mesma ( dá ). - Para várias parcelas em diferentes tempos somamos os valores presentes de cada parcela; isso nos dá o custo real da opção na ótica de Carlos. A opção com menor valor presente é melhor para ele (ele prefere pagar menos em valor atual).
Passo 3
Aplicando o conceito à Opção i). As parcelas estão em
meses, todas de
. Logo o valor presente da opção i) é
Agora calculamos term a termo (vou mostrar as contas para você poder repetir sem calculadora com passos claros):
-
. - Segunda parcela descontada:
. Podemos calcular , então
- Terceira parcela descontada:
. Calculando diretamente,
Somando os três termos:
Arredondando para centavos:
Passo 4
Aplicando o conceito à Opção ii). As sete parcelas de
ocorrem em
. O valor presente é
Isto é uma soma geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica finita é
Usando
e
, obtemos
Agora calculamos passo a passo:
-
- Calculamos
por multiplicações sucessivas:
- Logo
- Agora o numerador
e o denominador . - Dividindo:
- Multiplicando por
:
Arredondando para centavos:
Passo 5
Comparação e conclusão: como Carlos prefere a opção que lhe custa menos em valor presente, comparamos
A Opção ii) tem valor presente muito menor; portanto é a melhor escolha para Carlos. Você pode checar mentalmente: as parcelas da opção ii) somam nominalmente
no total, enquanto a opção i) soma
; descontando pelo valor do dinheiro no tempo a diferença permanece grande, favorecendo claramente a opção ii). Força aí — opção ii) é a certa!
Resposta
Opção ii) —
.