Questão 2: Dimensione um hidrociclone de Bradley para coletar partículas de um sólido presentes em 300 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de suspensão. As partículas são uniformes e possuem \mathrm{dp}=18 \mu \mathrm{~m} \mathrm{e} \rho \mathrm{s}=4,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a concentração volumétrica de partículas é 0,2 . O líquido tem \mu=0,8 \mathrm{cP} e \rho=1,0 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine também a perdad e carga e as vazões de underflow e de fluido limpo.

Passo 1

O problema pede que eu dimensione um hidrociclone de Bradley para separar partículas sólidas de uma suspensão e que também determine a perda de carga, a carga hidráulica equivalente e as vazões de underflow (esgoto concentrado) e de fluido limpo (overflow). Dados fornecidos (vou listar tudo com as unidades convertidas para o SI, para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Vazão de alimentação: } Q_f = 300\\ \mathrm{L/min} = 0{,}005\\ \mathrm{m^3/s},\\[4pt] &\text{Diâmetro das partículas: } d_p = 18\\ \mu\mathrm{m} = 18\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\\[4pt] &\text{Densidade das partículas: } \rho_s = 4{,}9\\ \mathrm{g/cm^3} = 4900\\ \mathrm{kg/m^3},\\[4pt] &\text{Densidade do líquido: } \rho_f = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\[4pt] &\text{Diferença de densidade: } \Delta \rho = \rho_s - \rho_f = 3900\\ \mathrm{kg/m^3},\\[4pt] &\text{Viscosidade dinâmica do líquido: } \mu = 0{,}8\\ \mathrm{cP} = 0{,}0008\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\[4pt] &\text{Concentração volumétrica de partículas na alimentação: } \phi_f = 0{,}20\\ (\text{fração volumétrica}).\\\ \end{aligned}ãçãâíííçâíçãéíçãçãé
O enunciado pede:
  • dimensionar o hidrociclone (vou entender que a saída é o diâmetro característico D do ciclone),
  • determinar perda de carga (diferença de pressão \Delta P) e carga hidráulica (altura equivalente h),
  • determinar as vazões de underflow e de fluido limpo (overflow).
Não foram dadas dimensões geométricas do ciclone nem parâmetros empíricos específicos do método Bradley. Então preciso assumir relações geométricas típicas e usar um raciocínio físico elementar (Stokes em campo centrífugo + balanço de tempo de residência) — explico isso e as suposições no próximo passo.]

Passo 2

Escolha do método e suposições (explicito porque há várias maneiras de projetar um ciclone).
Por que usar esse método?
  • Há métodos empíricos (tabelas, curvas de fabricantes) e métodos analíticos-simplificados. Como não temos constantes empíricas do fabricante, uso um método analítico físico simples e didático que é suficiente para uma estimativa de projeto: considerar a separação como “assentamento” das partículas numa aceleração centrífuga média, usando a expressão de Stokes substituindo g por uma aceleração centrífuga média a. Esse método é básico (ensinado cedo) e é aplicável porque as partículas são pequenas (Stokes tende a valer) — depois eu checo a validade.
  • Preciso também assumir proporções geométricas típicas do hidrociclone (valores comumente usados em projetos Bradley): escolho relações simples e razoáveis:
    • área do bocal tangencial (inlet) A_{in} = 0{,}04\,D^2 (isto equivale a dimensões do inlet aproximadamente 0{,}2D\times0{,}2D — é um valor prático usado em projetos pedagógicos);
    • altura total útil do corpo H = 3D (valor típico usado em exercícios e projetos);
    • distância radial que a partícula precisa percorrer para atingir a parede desde a região interna aproximada: \Delta r \approx D/4 (assume-se que a partícula entra a uma distância cerca de D/4 do eixo e precisa alcançar a parede em D/2).
  • Para as vazões de underflow/overflow: o enunciado não diz qual concentração final de underflow desejamos. Vou assumir que queremos um underflow com concentração volumétrica típica de projeto \phi_u = 0{,}50 (50% em volume) — isso é uma escolha prática que me permite calcular as vazões. Vou explicitar que isto é uma hipótese de projeto e mostrar como mudar se você quiser outro valor.
Se você preferir outro alvo de concentração de underflow eu posso recalcular, mas não vou pedir isso — sigo com \phi_u=0{,}50.

Passo 3

Princípio físico usado: velocidade radial terminal da partícula em campo centrífugo (analogia com Stokes).
  • Em um campo gravitacional normal a velocidade terminal de uma partícula em regime de Stokes é
v_t = \frac{(\rho_s-\rho_f)\,g\,d_p^2}{18\mu}.
Aqui v_t é a velocidade terminal (m/s), \rho_s e \rho_f são densidades (kg/m^3), g é a gravidade (m/s^2), d_p é o diâmetro da partícula (m), e \mu é a viscosidade (Pa·s).
  • Em um hidrociclone a “força” que empurra a partícula radialmente para a parede é a aceleração centrífuga a (m/s^2). Substituímos g por a e obtemos a velocidade radial terminal aproximada (regime de Stokes):
v_r = \frac{(\rho_s-\rho_f)\,a\,d_p^2}{18\mu}.
Explicação física: a força viscosa que equilibra a força de “peso efetivo” (aqui (\rho_s-\rho_f)V_p a) dá origem a essa expressão.
  • Para que a partícula seja coletada ela precisa percorrer a distância radial \Delta r até a parede dentro do tempo de residência t_r no ciclone, ou seja precisamos de
v_r\,t_r \gtrsim \Delta r.
Nas próximas etapas vou estimar a (aceleração centrífuga média) e t_r (tempo de residência) em função do diâmetro D e da vazão Q_f, e daí resolver para D.

Passo 4

Estimativa da aceleração centrífuga média a a partir da velocidade tangencial de entrada.
  • Velocidade tangencial média no ingresso: se o fluido entra pelo bocal tangencial com área A_{in} e com vazão Q_f, a velocidade de entrada (eixo tangencial próximo do ingresso) vale
U_{in} \approx \frac{Q_f}{A_{in}}.
Com a suposição geométrica A_{in}=0{,}04\,D^2 (assumida no Passo 2) obtemos
U_{in} \approx \frac{Q_f}{0{,}04\,D^2}=25\frac{Q_f}{D^2}.
  • A aceleração centrífuga típica em raio r\sim D/2 é
a \approx \frac{U_{in}^2}{r} \approx \frac{U_{in}^2}{D/2} = \frac{2U_{in}^2}{D}.
Substituindo U_{in}=25Q_f/D^2 resulta
a \approx \frac{2(25Q_f/D^2)^2}{D} = \frac{1250\,Q_f^2}{D^5}.
Observe que a cresce com Q_f^2 e decresce fortemente com D^5 (pequeno D dá acelerações bem grandes).

Passo 5

Estimativa do tempo de residência t_r.
  • Uma estimativa simples do tempo de residência é a razão entre comprimento útil do ciclone H e a velocidade axial média U_{ax}. Com a suposição H=3D e com área axial aproximada \pi D^2/4, a velocidade axial média vale
U_{ax} \approx \frac{Q_f}{\pi D^2/4} = \frac{4Q_f}{\pi D^2}.
Logo
t_r \approx \frac{H}{U_{ax}} = \frac{3D}{4Q_f/(\pi D^2)} = \frac{3\pi D^3}{4Q_f}.

Passo 6

Combinação das expressões e isolando D.
  • A condição de coleta v_r t_r \gtrsim \Delta r com v_r e t_r dados acima e \Delta r \approx D/4 nos dá:
\begin{aligned} v_r t_r &= \left(\frac{(\rho_s-\rho_f)\,a\,d_p^2}{18\mu}\right)\left(\frac{3\pi D^3}{4Q_f}\right) \\[4pt] &= \frac{(\rho_s-\rho_f)\,d_p^2}{18\mu}\cdot a\cdot\frac{3\pi D^3}{4Q_f}. \end{aligned}
Substituindo a=\dfrac{1250\,Q_f^2}{D^5}:
v_r t_r = \frac{(\rho_s-\rho_f)\,d_p^2}{18\mu}\cdot\frac{1250\cdot3\pi}{4}\cdot\frac{Q_f}{D^2}.
Impondo v_r t_r = \Delta r = D/4 e rearranjando para D^3
D^3 = 4\cdot\frac{(\rho_s-\rho_f)\,d_p^2}{18\mu}\cdot\frac{1250\cdot3\pi}{4}\,Q_f.
Note que o fator 4 à direita cancela o /4 do coeficiente, por isso a expressão final prática é
D^3 = \Bigg[\frac{(\rho_s-\rho_f)\,d_p^2}{18\mu}\cdot\left(\frac{1250\cdot3\pi}{1}\right)\Bigg] Q_f.
Agora eu substituo os números.]

Passo 7

Cálculo numérico do diâmetro D.
Primeiro calculemos o fator físico:
\frac{(\rho_s-\rho_f)\,d_p^2}{18\mu} = \frac{3900\cdot(18\times10^{-6})^2}{18\cdot 0{,}0008} = 8{,}776\times10^{-5}\\ (\mathrm{SI}).
O coeficiente geométrico é
\frac{1250\cdot3\pi}{1}=1250\cdot3\pi=937{,}5\pi \approx 2943{,}887.
Multiplicando tudo e multiplicando por Q_f=0{,}005\\ \mathrm{m^3/s}:
D^3 = \big(8{,}776\times10^{-5}\big)\cdot(2943{,}887)\cdot 0{,}005 \approx 0{,}0051688\\ \mathrm{m^3}.
Logo
D = (0{,}0051688)^{1/3} \approx 0{,}1732\\ \mathrm{m} \approx 173{,}2\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: escolho um diâmetro comercial arredondado próximo, por exemplo D=0{,}175\\ \mathrm{m} (175 mm). Vou continuar os cálculos com o valor calculado e mostrar a verificação de hipóteses.

Passo 8

Verificações e cálculos auxiliares (aceleração, velocidade radial, tempo de residência, validade do regime de Stokes).
Com D=0{,}1732\\ \mathrm{m} e Q_f=0{,}005\\ \mathrm{m^3/s}:
  • área do inlet (assumida): A_{in}=0{,}04D^2 \approx 0{,}0011996\\ \mathrm{m^2}.
  • velocidade de entrada: U_{in}=Q_f/A_{in}\approx 4{,}167\\ \mathrm{m/s}.
  • aceleração centrífuga média:
a \approx \frac{1250\,Q_f^2}{D^5} \approx 200{,}7\\ \mathrm{m/s^2}\\ (\approx 20{,}5\,g).
  • velocidade radial terminal estimada:
v_r = \frac{(\rho_s-\rho_f)\,a\,d_p^2}{18\mu} \approx 0{,}0176\\ \mathrm{m/s}.
  • tempo de residência:
t_r = \frac{3\pi D^3}{4Q_f} \approx 2{,}447\\ \mathrm{s}.
  • deslocamento radial em t_r:
v_r t_r \approx 0{,}0176\times2{,}447 \approx 0{,}0431\\ \mathrm{m},
que é praticamente \Delta r \approx D/4 \approx 0{,}1732/4 =0{,}0433\\ \mathrm{m}. Portanto a condição de coleta está satisfeita (num sentido aproximado), o que confirma o projeto.
Validade do regime de Stokes:
\mathrm{Re}_p = \frac{\rho_f v_r d_p}{\mu} \approx \frac{1000\cdot0{,}0176\cdot18\times10^{-6}}{0{,}0008} \approx 0{,}40<1,
ou seja as partículas estão em regime de Stokes — portanto a hipótese de usar a expressão de Stokes foi consistente.

Passo 9

Cálculo da perda de carga \Delta P e da carga hidráulica h.
  • Usarei uma estimativa prática e comum para perda de carga do ciclone: \Delta P \sim K\cdot\frac{1}{2}\rho_f U_{in}^2, com K coeficiente adimensional que depende do projeto do ciclone; valores típicos experimentais ficam entre K\approx 1{,}5 e K\approx5. Para ser conservador e didático, escolho K=2 (valor usado frequentemente em exercícios pedagógicos).
  • Dinâmica:
\frac{1}{2}\rho_f U_{in}^2 = \frac{1}{2}\cdot1000\cdot(4{,}167)^2 \approx 8{,}681\\ \mathrm{kPa}.
Então
\Delta P \approx K\cdot\frac{1}{2}\rho_f U_{in}^2 \approx 2\cdot8{,}681\\ \mathrm{kPa} \approx 17{,}36\\ \mathrm{kPa}.
  • A carga hidráulica equivalente (em metros de coluna de fluido) é
h = \frac{\Delta P}{\rho_f g} \approx \frac{17{,}36\times10^3}{1000\cdot9{,}81}\approx 1{,}77\\ \mathrm{m}.
Observação: \Delta P e h são estimativas aproximadas — fabricantes podem fornecer valores mais precisos com base em geometria detalhada e ensaios.

Passo 10

Cálculo das vazões de underflow e overflow (mass balance volumétrico), usando a hipótese de projeto \phi_u=0{,}50.
  • Vazão volumétrica de sólidos na alimentação:
Q_s = \phi_f Q_f = 0{,}20\times0{,}005 = 0{,}001\\ \mathrm{m^3/s}\quad(=60\\ \mathrm{L/min}).
  • Se assumimos que todo o sólido é descarregado no underflow (boa aproximação se ciclone estiver operando bem no corte para a partícula em questão), então a vazão de underflow necessária para obter concentração \phi_u é
Q_u = \frac{Q_s}{\phi_u} = \frac{0{,}001}{0{,}50} = 0{,}002\\ \mathrm{m^3/s} = 120\\ \mathrm{L/min}.
  • A vazão de overflow (fluido limpo) será o restante:
Q_o = Q_f - Q_u = 0{,}005 - 0{,}002 = 0{,}003\\ \mathrm{m^3/s} = 180\\ \mathrm{L/min}.
Se você quiser outro alvo para \phi_u eu refaço esses números rapidamente (por ex. \phi_u=0{,}40 daria Q_u=0{,}0025\\ \mathrm{m^3/s}=150\\ \mathrm{L/min} etc.).

Resposta

Diâmetro do hidrociclone: D \approx 0{,}173\\ \mathrm{m} (aprox. 175\\ \mathrm{mm} comercial).
Perda de carga: \Delta P \approx 1{,}74\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 17{,}4\\ \mathrm{kPa}).
Carga hidráulica equivalente: h \approx 1{,}77\\ \mathrm{m}.
Vazão de underflow (assumindo \phi_u=0{,}50): Q_u = 120\\ \mathrm{L/min}.
Vazão de fluido limpo (overflow): Q_o = 180\\ \mathrm{L/min}.

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