Questão 2: Dimensione um hidrociclone de Bradley para coletar partículas de um sólido presentes em
de suspensão. As partículas são uniformes e possuem
e a concentração volumétrica de partículas é 0,2 . O líquido tem
e
. Determine também a perdad e carga e as vazões de underflow e de fluido limpo.
Passo 1
O problema pede que eu dimensione um hidrociclone de Bradley para separar partículas sólidas de uma suspensão e que também determine a perda de carga, a carga hidráulica equivalente e as vazões de underflow (esgoto concentrado) e de fluido limpo (overflow). Dados fornecidos (vou listar tudo com as unidades convertidas para o SI, para não nos perder):
O enunciado pede:
- dimensionar o hidrociclone (vou entender que a saída é o diâmetro característico
do ciclone), - determinar perda de carga (diferença de pressão
) e carga hidráulica (altura equivalente ), - determinar as vazões de underflow e de fluido limpo (overflow).
Não foram dadas dimensões geométricas do ciclone nem parâmetros empíricos específicos do método Bradley. Então preciso assumir relações geométricas típicas e usar um raciocínio físico elementar (Stokes em campo centrífugo + balanço de tempo de residência) — explico isso e as suposições no próximo passo.]
Passo 2
Escolha do método e suposições (explicito porque há várias maneiras de projetar um ciclone).
Por que usar esse método?
- Há métodos empíricos (tabelas, curvas de fabricantes) e métodos analíticos-simplificados. Como não temos constantes empíricas do fabricante, uso um método analítico físico simples e didático que é suficiente para uma estimativa de projeto: considerar a separação como “assentamento” das partículas numa aceleração centrífuga média, usando a expressão de Stokes substituindo
por uma aceleração centrífuga média . Esse método é básico (ensinado cedo) e é aplicável porque as partículas são pequenas (Stokes tende a valer) — depois eu checo a validade. - Preciso também assumir proporções geométricas típicas do hidrociclone (valores comumente usados em projetos Bradley): escolho relações simples e razoáveis:
- área do bocal tangencial (inlet)
(isto equivale a dimensões do inlet aproximadamente — é um valor prático usado em projetos pedagógicos); - altura total útil do corpo
(valor típico usado em exercícios e projetos); - distância radial que a partícula precisa percorrer para atingir a parede desde a região interna aproximada:
(assume-se que a partícula entra a uma distância cerca de do eixo e precisa alcançar a parede em ).
- área do bocal tangencial (inlet)
- Para as vazões de underflow/overflow: o enunciado não diz qual concentração final de underflow desejamos. Vou assumir que queremos um underflow com concentração volumétrica típica de projeto
(50% em volume) — isso é uma escolha prática que me permite calcular as vazões. Vou explicitar que isto é uma hipótese de projeto e mostrar como mudar se você quiser outro valor.
Se você preferir outro alvo de concentração de underflow eu posso recalcular, mas não vou pedir isso — sigo com
.
Passo 3
Princípio físico usado: velocidade radial terminal da partícula em campo centrífugo (analogia com Stokes).
- Em um campo gravitacional normal a velocidade terminal de uma partícula em regime de Stokes é
Aqui
é a velocidade terminal (m/s),
e
são densidades (kg/m^3),
é a gravidade (m/s^2),
é o diâmetro da partícula (m), e
é a viscosidade (Pa·s).
- Em um hidrociclone a “força” que empurra a partícula radialmente para a parede é a aceleração centrífuga
(m/s^2). Substituímos por e obtemos a velocidade radial terminal aproximada (regime de Stokes):
Explicação física: a força viscosa que equilibra a força de “peso efetivo” (aqui
) dá origem a essa expressão.
- Para que a partícula seja coletada ela precisa percorrer a distância radial
até a parede dentro do tempo de residência no ciclone, ou seja precisamos de
Nas próximas etapas vou estimar
(aceleração centrífuga média) e
(tempo de residência) em função do diâmetro
e da vazão
, e daí resolver para
.
Passo 4
Estimativa da aceleração centrífuga média
a partir da velocidade tangencial de entrada.
- Velocidade tangencial média no ingresso: se o fluido entra pelo bocal tangencial com área
e com vazão , a velocidade de entrada (eixo tangencial próximo do ingresso) vale
Com a suposição geométrica
(assumida no Passo 2) obtemos
- A aceleração centrífuga típica em raio
é
Substituindo
resulta
Observe que
cresce com
e decresce fortemente com
(pequeno
dá acelerações bem grandes).
Passo 5
Estimativa do tempo de residência
.
- Uma estimativa simples do tempo de residência é a razão entre comprimento útil do ciclone
e a velocidade axial média . Com a suposição e com área axial aproximada , a velocidade axial média vale
Logo
Passo 6
Combinação das expressões e isolando
.
- A condição de coleta
com e dados acima e nos dá:
Substituindo
:
Impondo
e rearranjando para
dá
Note que o fator
à direita cancela o
do coeficiente, por isso a expressão final prática é
Agora eu substituo os números.]
Passo 7
Cálculo numérico do diâmetro
.
Primeiro calculemos o fator físico:
O coeficiente geométrico é
Multiplicando tudo e multiplicando por
:
Logo
Interpretação prática: escolho um diâmetro comercial arredondado próximo, por exemplo
(175 mm). Vou continuar os cálculos com o valor calculado e mostrar a verificação de hipóteses.
Passo 8
Verificações e cálculos auxiliares (aceleração, velocidade radial, tempo de residência, validade do regime de Stokes).
Com
e
:
- área do inlet (assumida):
. - velocidade de entrada:
- aceleração centrífuga média:
- velocidade radial terminal estimada:
- tempo de residência:
- deslocamento radial em
:
que é praticamente
. Portanto a condição de coleta está satisfeita (num sentido aproximado), o que confirma o projeto.
Validade do regime de Stokes:
ou seja as partículas estão em regime de Stokes — portanto a hipótese de usar a expressão de Stokes foi consistente.
Passo 9
Cálculo da perda de carga
e da carga hidráulica
.
- Usarei uma estimativa prática e comum para perda de carga do ciclone:
, com coeficiente adimensional que depende do projeto do ciclone; valores típicos experimentais ficam entre e . Para ser conservador e didático, escolho (valor usado frequentemente em exercícios pedagógicos). - Dinâmica:
Então
- A carga hidráulica equivalente (em metros de coluna de fluido) é
Observação:
e
são estimativas aproximadas — fabricantes podem fornecer valores mais precisos com base em geometria detalhada e ensaios.
Passo 10
Cálculo das vazões de underflow e overflow (mass balance volumétrico), usando a hipótese de projeto
.
- Vazão volumétrica de sólidos na alimentação:
- Se assumimos que todo o sólido é descarregado no underflow (boa aproximação se ciclone estiver operando bem no corte para a partícula em questão), então a vazão de underflow necessária para obter concentração
é
- A vazão de overflow (fluido limpo) será o restante:
Se você quiser outro alvo para
eu refaço esses números rapidamente (por ex.
daria
etc.).
Resposta
Diâmetro do hidrociclone:
(aprox.
comercial).
Perda de carga: (aprox.
).
Carga hidráulica equivalente: .
Vazão de underflow (assumindo ):
.
Vazão de fluido limpo (overflow): .
Perda de carga:
Carga hidráulica equivalente:
Vazão de underflow (assumindo
Vazão de fluido limpo (overflow):