(Carnegie Mellon Informatics and Mathematics - CMIMC - 2014 - modificada) Seja A o valor da área do quadrilátero cíclico cujo os seus lados são as raízes da equação x^{4}-10 x^{3}+34 x^{2}-45 x+19=0. Então o valor de A vale:
a) \sqrt{5}
b) \sqrt{10}
c) 2 \sqrt{3}
d) \sqrt{14}
e) \sqrt{19}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{4}-10x^{3}+34x^{2}-45x+19=0,
cuja quatro raízes (reais e positivas, conforme o enunciado) são os comprimentos dos lados de um quadrilátero cíclico. Pede-se o valor da área A desse quadrilátero, e as alternativas são:
\sqrt{5},\\ \sqrt{10},\\\ 2\sqrt{3},\\ \sqrt{14},\\ \sqrt{19}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As quatro raízes serão chamadas de \;r_1,r_2,r_3,r_4\;, e esses quatro números são os lados do quadrilátero cíclico.
  • O polinômio é monico (coeficiente líder 1), logo suas relações entre coeficientes e somas/produtos das raízes são aplicáveis.
  • A fórmula de área apropriada para um quadrilátero cíclico é a de Brahmagupta (veremos isso mais adiante).

Passo 2

Relacionar coeficientes do polinômio com as somas simétricas das raízes.
Para um polinômio monico de quarto grau com raízes r_1,r_2,r_3,r_4 vale a identidade
x^4 - (r_1+r_2+r_3+r_4)x^3 + ( \text{somatório dos produtos dois a dois} ) x^2 - ( \text{somatório dos produtos três a três} ) x + (r_1r_2r_3r_4).óóêê
Comparando com \;x^{4}-10x^{3}+34x^{2}-45x+19\;, obtemos as somas simétricas:
\begin{aligned} r_1+r_2+r_3+r_4 &= 10,\\[4pt] \sum_{i<j} r_ir_j &= 34,\\[4pt] \sum_{i<j<k} r_ir_jr_k &= 45,\\[4pt] r_1r_2r_3r_4 &= 19. \end{aligned}]

Passo 3

Definir o semiperímetro e lembrar a fórmula de area de Brahmagupta.
O semiperímetro s de um quadrilátero com lados a,b,c,d é
s=\frac{a+b+c+d}{2}.
No nosso caso os lados são \;r_1,r_2,r_3,r_4\;, então
s=\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{2}.
A fórmula de Brahmagupta para a área K de um quadrilátero cíclico com lados a,b,c,d é
K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.
Aqui usaremos essa fórmula com a=r_1,\\ b=r_2,\\ c=r_3,\\ d=r_4.

Passo 4

Calcular explicitamente o semiperímetro s usando a soma das raízes.
Pela identitdade encontrada no Passo 2,
r_1+r_2+r_3+r_4 = 10,
logo
s=\frac{10}{2}=5.

Passo 5

Observar que o produto (s-r_1)(s-r_2)(s-r_3)(s-r_4) é a avaliação do polinômio em x=s.
Considere o polinômio
p(x)=x^{4}-10x^{3}+34x^{2}-45x+19.
Como p(x)=\prod_{i=1}^{4}(x-r_i), ao avaliar em x=s obtemos
p(s)=\prod_{i=1}^{4}(s-r_i)=(s-r_1)(s-r_2)(s-r_3)(s-r_4).
Portanto, pela fórmula de Brahmagupta,
K=\sqrt{(s-r_1)(s-r_2)(s-r_3)(s-r_4)}=\sqrt{p(s)}.

Passo 6

Calcular p(s)=p(5) explicitamente.
Substituindo x=5 em p(x):
\begin{aligned} p(5) &= 5^{4}-10\cdot 5^{3}+34\cdot 5^{2}-45\cdot 5+19\\[4pt] &=625-10\cdot125+34\cdot25-225+19\\[4pt] &=625-1250+850-225+19. \end{aligned}
Agora somando passo a passo:
625-1250=-625,
-625+850=225,
225-225=0,
0+19=19.
Logo
p(5)=19.]

Passo 7

Concluir a área usando o resultado anterior.
Pelo Passo 5 temos K=\sqrt{p(5)}. Pelo Passo 6 p(5)=19. Portanto
K=\sqrt{19}.

Resposta

\sqrt{19}

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