(Carnegie Mellon Informatics and Mathematics - CMIMC - 2014 - modificada) Seja A o valor da área do quadrilátero cíclico cujo os seus lados são as raízes da equação
. Então o valor de
vale:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a equação
cuja quatro raízes (reais e positivas, conforme o enunciado) são os comprimentos dos lados de um quadrilátero cíclico. Pede-se o valor da área
desse quadrilátero, e as alternativas são:
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As quatro raízes serão chamadas de
, e esses quatro números são os lados do quadrilátero cíclico. - O polinômio é monico (coeficiente líder
), logo suas relações entre coeficientes e somas/produtos das raízes são aplicáveis. - A fórmula de área apropriada para um quadrilátero cíclico é a de Brahmagupta (veremos isso mais adiante).
Passo 2
Relacionar coeficientes do polinômio com as somas simétricas das raízes.
Para um polinômio monico de quarto grau com raízes
vale a identidade
Comparando com
, obtemos as somas simétricas:
Passo 3
Definir o semiperímetro e lembrar a fórmula de area de Brahmagupta.
O semiperímetro
de um quadrilátero com lados
é
No nosso caso os lados são
, então
A fórmula de Brahmagupta para a área
de um quadrilátero cíclico com lados
é
Aqui usaremos essa fórmula com
.
Passo 4
Calcular explicitamente o semiperímetro
usando a soma das raízes.
Pela identitdade encontrada no Passo 2,
logo
Passo 5
Observar que o produto
é a avaliação do polinômio em
.
Considere o polinômio
Como
, ao avaliar em
obtemos
Portanto, pela fórmula de Brahmagupta,
Passo 6
Calcular
explicitamente.
Substituindo
em
:
Agora somando passo a passo:
Logo
Passo 7
Concluir a área usando o resultado anterior.
Pelo Passo 5 temos
. Pelo Passo 6
. Portanto