8. Trace o gráfico da função

f(x)=\left(x^{2}-1\right)+\left|x^{2}-1\right|+1
(a) Analise o sinal de x^{2}-1.
(b) Reescreva a função sem módulo e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\bigl(x^{2}-1\bigr)+\bigl|x^{2}-1\bigr|+1
e pede duas coisas:
(a) analisar o sinal de \,x^{2}-1\, (ou seja: onde é positivo, nulo ou negativo);
(b) reescrever f sem o símbolo de módulo e esboçar o gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do módulo é \,x^{2}-1\,.
  • Queremos uma forma sem |\cdot| (uma definição por partes) e um esboço do gráfico baseado nessa forma.

Passo 2

Entendendo o sinal de \,x^{2}-1\,. Primeiro fatoramos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para saber onde isso é positivo, nulo ou negativo, observamos as raízes \,x=-1 e \,x=1 e fazemos o quadro de sinais:
  • Se |x|>1 (isto é, x<-1 ou x>1), então \,x^{2}-1>0.
  • Se |x|=1 (isto é, x=-1 ou x=1), então \,x^{2}-1=0.
  • Se |x|<1 (isto é, -1<x<1), então \,x^{2}-1<0.
Esse tipo de análise vem de que um quadrado \,x^{2}\, é menor que 1 justamente quando |x|<1, igual a 1 quando |x|=1 e maior que 1 quando |x|>1.

Passo 3

Relembrando a definição e uma identidade útil do valor absoluto. Para qualquer número real a\), \[|a|=\begin{cases} a, & a\ge 0,\\[4pt] -a, & a<0. \end{cases}
Uma identidade prática (muito usada) é
a+|a|= \begin{cases} 2a, & a\ge 0,\\[4pt] 0, & a<0, \end{cases}
ou, simbolicamente, a+|a|=2\max(a,0)\]. Aqui \(a será a=x^{2}-1.]

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso caso. Tomamos [a=x^{2}-1) e tratamos os dois casos encontrados no Passo 2.
Caso 1: se |x|<1 então x^{2}-1<0. Assim |x^{2}-1|=-(x^{2}-1). Substituindo em f:
f(x)=(x^{2}-1)+\bigl(-(x^{2}-1)\bigr)+1=0+1=1.
Caso 2: se |x|\ge 1 então x^{2}-1\ge 0. Assim |x^{2}-1|=x^{2}-1. Substituindo:
f(x)=(x^{2}-1)+(x^{2}-1)+1=2(x^{2}-1)+1=2x^{2}-1.
Portanto a forma sem módulo (definição por partes) é
f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se }-1<x<1,\\[4pt] 2x^{2}-1, & \text{se }|x|\ge 1. \end{cases}
Observação: em x=\pm1\] ambas as fórmulas dão \(1, então podemos escrever a parte central como |x|<1 e a outra como |x|\ge1 para cobrir todos os pontos sem contradição.]

Passo 5

Verificação de continuidade nos pontos críticos \,x=\pm1. Avaliando as duas expressões em x=1:
\text{pela parte constante: }f(1)=1,\qquad \text{pela parte parabólica: }f(1)=2\cdot1^{2}-1=1.ó
Mesmo em x=-1 ambas dão 1. Logo f é contínua em \pm1 (nenhuma descontinuidade de valor).

Passo 6

Características importantes para desenhar o gráfico (pontos e forma):
  • Domínio: todos os reais \mathbb{R}.
  • Simetria: f é função par, pois depende apenas de x^{2}; o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • No intervalo central -1<x<1: f(x)=1. Então há um segmento horizontal em y=1 para -1<x<1.
  • Em |x|\ge1: f(x)=2x^{2}-1, que é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^{2} positivo), crescendo rápido quando |x| aumenta.
  • Valores notáveis:
    • f(0)=1 (ponto no centro do segmento).
    • f(\pm1)=1 (pontos de junção).
    • f(\pm2)=2\cdot 4-1=7.
  • Mínimo global: f(x)\ge1 para todo x; o menor valor é 1, atingido em todo o intervalo [-1,1].
  • Interseção com o eixo x: não existem raízes reais, pois f(x)\ge1>0 sempre.
  • Diferenciabilidade: para |x|>1 a derivada é f'(x)=4x. Para -1<x<1 a derivada é 0. Em x=\pm1 há mudança de derivada (derivada à direita em 1 é 4, à esquerda é 0; em -1 derivada à esquerda é -4, à direita é 0), logo há “cantos” em x=\pm1 — a função não é diferenciável nesses pontos.

Passo 7

Como esboçar o gráfico passo a passo (guia prático para desenhar na prova):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque os pontos x=-1 e x=1 no eixo x.
  3. Desenhe um segmento horizontal em y=1 que vai de x=-1 até x=1 (incluindo as extremidades).
  4. A partir do ponto (1,1) desenhe a rama direita da parábola y=2x^{2}-1 para x\ge1. Essa rama sobe e em x=2 atinge y=7.
  5. Simetricamente, a partir de (-1,1) desenhe a rama esquerda da mesma parábola para x\le-1.
  6. Observe que há cantos em (-1,1) e (1,1) (o gráfico é contínuo ali, mas a inclinação muda).
Esse é o esboço: um trecho horizontal em y=1 entre -1 e 1, e duas ramas parabólicas (de 2x^{2}-1) saindo dessas extremidades e crescendo para cima.

Resposta

(a) \;x^{2}-1<0 para |x|<1; \;x^{2}-1=0 para x=\pm1; \;x^{2}-1>0 para |x|>1.
(b) f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se }-1<x<1,\\[4pt] 2x^{2}-1, & \text{se }|x|\ge 1. \end{cases}]

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