(Competição Olimpíada Nacional de Matemática da Indonésia de 2003 - modificada) Sabe - se que
. Defina
para
. O valor da soma infinita de
. é igual a:
a) 24
b) 18
c) 32
d) 15
e) 12
a) 24
b) 18
c) 32
d) 15
e) 12
Passo 1
O enunciado dá a sequência com os primeiros termos e a recorrência:
-
, -
, - para
:
A pergunta é: calcular a soma infinita
Passo 2
Antes de somar, vamos verificar que a soma faz sentido (ou seja, que
converge). Para isso investigamos o comportamento assintótico de
.
A recorrência linear homogênea tem a equação característica
O discriminante é
As raízes são
que numericamente dão aproximadamente
e
. Ambas têm módulo menor que
, portanto
é combinação linear de potências
e
que tendem a zero quando
. Logo
e a série
é convergente. (Bom, isso é importante para podermos manipular somas infinitas com segurança.)
Passo 3
Agora definimos a soma que queremos:
Denote
. Vamos obter uma equação para
a partir da recorrência somando-a para
.
Passo 4
Somando a relação
para
até infinito temos
Agora trocamos índices nas somas da direita:
Portanto
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Voltando para
, lembrando que
, obtemos
Reorganizando para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Agora substituímos
e
:
Passo 6
Ótimo — a expressão final ficou simples. Mantém a calma: foi só organizar somas e usar o truque de deslocar índices nas somas infinitas. Se correr a prova, esse método é rápido e seguro.
Resposta
24