(Competição Olimpíada Nacional de Matemática da Indonésia de 2003 - modificada) Sabe - se que a_{1}=2, a_{2}=3. Defina a_{k}=\frac{1}{2} a_{k-1}+\frac{1}{3} a_{k-2} para k>2. O valor da soma infinita de a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots. é igual a:
a) 24
b) 18
c) 32
d) 15
e) 12

Passo 1

O enunciado dá a sequência com os primeiros termos e a recorrência:
  • a_{1}=2,
  • a_{2}=3,
  • para k>2: a_{k}=\tfrac{1}{2}a_{k-1}+\tfrac{1}{3}a_{k-2}.
A pergunta é: calcular a soma infinita S=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}.

Passo 2

Antes de somar, vamos verificar que a soma faz sentido (ou seja, que S converge). Para isso investigamos o comportamento assintótico de a_k.
A recorrência linear homogênea tem a equação característica
r^{2}-\tfrac{1}{2}r-\tfrac{1}{3}=0.
O discriminante é
\Delta=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+4\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{19}{12}.
As raízes são
r=\frac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\tfrac{19}{12}}}{2},
que numericamente dão aproximadamente r_{1}\approx 0{,}879 e r_{2}\approx -0{,}379. Ambas têm módulo menor que 1, portanto a_{k} é combinação linear de potências r_{1}^{k} e r_{2}^{k} que tendem a zero quando k\to\infty. Logo a_k\to0 e a série \sum a_k é convergente. (Bom, isso é importante para podermos manipular somas infinitas com segurança.)

Passo 3

Agora definimos a soma que queremos:
S=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=a_{1}+a_{2}+\sum_{k=3}^{\infty} a_{k}.
Denote \displaystyle A=\sum_{k=3}^{\infty} a_{k}. Vamos obter uma equação para A a partir da recorrência somando-a para k=3,4,5,\dots.

Passo 4

Somando a relação \;a_{k}=\tfrac{1}{2}a_{k-1}+\tfrac{1}{3}a_{k-2}\; para k=3 até infinito temos
\sum_{k=3}^{\infty} a_{k}=\tfrac{1}{2}\sum_{k=3}^{\infty} a_{k-1}+\tfrac{1}{3}\sum_{k=3}^{\infty} a_{k-2}.
Agora trocamos índices nas somas da direita:
\sum_{k=3}^{\infty} a_{k-1}=\sum_{j=2}^{\infty} a_{j}=S-a_{1}, \qquad \sum_{k=3}^{\infty} a_{k-2}=\sum_{j=1}^{\infty} a_{j}=S.
Portanto
A=\tfrac{1}{2}(S-a_{1})+\tfrac{1}{3}S.
Simplificando os coeficientes:
A=\Big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\Big)S-\tfrac{1}{2}a_{1}=\tfrac{5}{6}S-\tfrac{1}{2}a_{1}.

Passo 5

Voltando para S, lembrando que S=a_{1}+a_{2}+A, obtemos
S=a_{1}+a_{2}+\left(\tfrac{5}{6}S-\tfrac{1}{2}a_{1}\right).
Reorganizando para isolar S:
S-\tfrac{5}{6}S=\tfrac{1}{2}a_{1}+a_{2}\qquad\Longrightarrow\qquad \tfrac{1}{6}S=\tfrac{1}{2}a_{1}+a_{2}.
Multiplicando ambos os lados por 6 resulta
S=6\Big(\tfrac{1}{2}a_{1}+a_{2}\Big).
Agora substituímos a_{1}=2 e a_{2}=3:
S=6\Big(\tfrac{1}{2}\cdot 2 + 3\Big)=6\big(1+3\big)=6\cdot 4.

Passo 6

Ótimo — a expressão final ficou simples. Mantém a calma: foi só organizar somas e usar o truque de deslocar índices nas somas infinitas. Se correr a prova, esse método é rápido e seguro.

Resposta

24

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