Carregamos um avião com 100 caixas cujos pesos são variáveis aleatórias
independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média
e desvio padrão
. A capacidade máxima do bagageiro do avião é de 5,3 toneladas.
(a) Utilizando o Teorema Central do Limite, encontre uma aproximação para a probabilidade da capacidade do bagageiro ser excedida.
(a) Utilizando o Teorema Central do Limite, encontre uma aproximação para a probabilidade da capacidade do bagageiro ser excedida.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre carregar um avião com 100 caixas, onde cada caixa tem um peso que pode variar. A média do peso de cada caixa é de 50 kg e o desvio padrão é de 10 kg. A gente quer saber qual a chance de, somando o peso de todas as caixas, ultrapassarmos a capacidade máxima do bagageiro, que é de 5,3 toneladas (ou 5300 kg). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite, que nos ajuda a aproximar a distribuição da soma de muitas variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso total médio que as 100 caixas vão ter. Como cada caixa tem, em média, 50 kg, o total médio será:
Aqui, $ \mu_S $ é a média da soma dos pesos.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da soma dos pesos. O desvio padrão da soma de variáveis independentes é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrões individuais. Como todas as caixas têm o mesmo desvio padrão de 10 kg:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão da soma dos pesos, podemos aproximar a distribuição total usando uma distribuição normal $ N(\mu_S, \sigma_S^2) $. Ou seja, a soma dos pesos $ S $ segue aproximadamente uma distribuição normal com média 5000 kg e desvio padrão 100 kg.
Passo 5
Queremos saber a probabilidade de o peso total $ S $ exceder 5300 kg. Isso é equivalente a calcular $ P(S > 5300) $. Vamos padronizar esse valor para usar a tabela da distribuição normal padrão:
Passo 6
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal a probabilidade de $ Z $ ser maior que 3. Sabemos que:
Isso significa que a chance de o peso total exceder 5300 kg é de aproximadamente 0,135%.
Resposta
A probabilidade de a capacidade do bagageiro ser excedida é de aproximadamente 0,135%.