Carregamos um avião com 100 caixas cujos pesos são variáveis aleatórias X1, ldots, X100 independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média mu=50 kg e desvio padrão sigma=10 kg. A capacidade máxima do bagageiro do avião é de 5,3 toneladas.
(a) Utilizando o Teorema Central do Limite, encontre uma aproximação para a probabilidade da capacidade do bagageiro ser excedida.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre carregar um avião com 100 caixas, onde cada caixa tem um peso que pode variar. A média do peso de cada caixa é de 50 kg e o desvio padrão é de 10 kg. A gente quer saber qual a chance de, somando o peso de todas as caixas, ultrapassarmos a capacidade máxima do bagageiro, que é de 5,3 toneladas (ou 5300 kg). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite, que nos ajuda a aproximar a distribuição da soma de muitas variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso total médio que as 100 caixas vão ter. Como cada caixa tem, em média, 50 kg, o total médio será:
muS = n times mu = 100 times 50 = 5000 kg
Aqui, $ \mu_S $ é a média da soma dos pesos.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da soma dos pesos. O desvio padrão da soma de variáveis independentes é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrões individuais. Como todas as caixas têm o mesmo desvio padrão de 10 kg:
sigmaS = sigma times raizn = 10 times raiz100 = 10 times 10 = 100 kg

Passo 4

Com a média e o desvio padrão da soma dos pesos, podemos aproximar a distribuição total usando uma distribuição normal $ N(\mu_S, \sigma_S^2) $. Ou seja, a soma dos pesos $ S $ segue aproximadamente uma distribuição normal com média 5000 kg e desvio padrão 100 kg.

Passo 5

Queremos saber a probabilidade de o peso total $ S $ exceder 5300 kg. Isso é equivalente a calcular $ P(S > 5300) $. Vamos padronizar esse valor para usar a tabela da distribuição normal padrão:
S

Passo 6

Agora, buscamos na tabela da distribuição normal a probabilidade de $ Z $ ser maior que 3. Sabemos que:
Z
Isso significa que a chance de o peso total exceder 5300 kg é de aproximadamente 0,135%.

Resposta

A probabilidade de a capacidade do bagageiro ser excedida é de aproximadamente 0,135%.

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