Considere uma urna com 3 bolinhas enumeradas como 1, 2 e 3 respectivamente. Primeiramente, sorteia-se aleatoriamente uma bolinha desta urna. Em seguida, devolve-se a bolinha sorteada e realiza-se um segundo sorteio mantendo na urna apenas as bolinhas com numeração igual ou inferior à da bolinha retirada no primeiro sorteio. Denote por X o valor sorteado para a primeira bolinha e Y para a segunda bolinha e suponha que todas as bolinhas na urna tenham igual probabilidade de serem sorteadas.
(b) Obtenha o valor esperado de Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com três bolinhas numeradas 1, 2 e 3. Primeiro, a gente sorteia uma bolinha aleatoriamente – essa primeira bolinha é representada por $ X $. Depois, colocamos essa bolinha de volta na urna e fazemos um segundo sorteio, mas agora só considerando as bolinhas que têm número igual ou menor que a primeira sorteada. Essa segunda bolinha é representada por $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de $ Y $, ou seja, o valor médio que $ Y $ pode assumir considerando todas as possibilidades. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como distribuição de probabilidade condicional e valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações para $ X $ e $ Y $. Como temos as bolinhas 1, 2 e 3, $ X $ pode ser 1, 2 ou 3, cada uma com igual probabilidade de $ \frac{1}{3} $.
Agora, para cada valor de $ X $, vamos ver quais são as opções possíveis para $ Y $:
  • Se $ X = 1 $, a única bolinha disponível para o segundo sorteio é a 1. Então, $ Y = 1 $.
  • Se $ X = 2 $, as bolinhas disponíveis são 1 e 2. Então, $ Y $ pode ser 1 ou 2.
  • Se $ X = 3 $, todas as três bolinhas estão disponíveis: 1, 2 e 3. Então, $ Y $ pode ser 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Y $ acontecer, considerando as diferentes possibilidades de $ X $:
  1. Quando $ X = 1 $:
    • $ Y = 1 $ com probabilidade 1.
  2. Quando $ X = 2 $:
    • $ Y = 1 $ com probabilidade $ \frac{1}{2} $.
    • $ Y = 2 $ com probabilidade $ \frac{1}{2} $.
  3. Quando $ X = 3 $:
    • $ Y = 1 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.
    • $ Y = 2 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.
    • $ Y = 3 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.

Passo 4

Para encontrar o valor esperado de $ Y $, usamos a fórmula:
Y
Onde $ E(Y | X = x) $ é o valor esperado de $ Y $ dado que $ X = x $.
Vamos calcular $ E(Y | X = x) $ para cada $ x $:
  1. Para $ X = 1 $:
    E(Y) = sumx P(X = x) cdot E(Y | X = x)
  2. Para $ X = 2 $:
    E(Y | X = x)
  3. Para $ X = 3 $:
    Y

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
E(Y) = P(X = 1) cdot E(Y | X = 1) + P(X = 2) cdot E(Y | X = 2) + P(X = 3) cdot E(Y | X = 3)
Sabemos que $ P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = \frac{1}{3} $. Então:
P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = 13
E(Y) = 13 cdot 1 + 13 cdot 32 + 13 cdot 2

Passo 6

Vamos somar essas frações:
13 + 24 + 23 = 13 + 12 + 23
Para somar, vamos achar o denominador comum, que é 6:
26 + 36 + 46 = 96 = 32

Resposta

O valor esperado de $ Y $ é $ \frac{3}{2} $, ou seja, 1,5.

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