Considere uma urna com 3 bolinhas enumeradas como 1, 2 e 3 respectivamente. Primeiramente, sorteia-se aleatoriamente uma bolinha desta urna. Em seguida, devolve-se a bolinha sorteada e realiza-se um segundo sorteio mantendo na urna apenas as bolinhas com numeração igual ou inferior à da bolinha retirada no primeiro sorteio. Denote por
o valor sorteado para a primeira bolinha e
para a segunda bolinha e suponha que todas as bolinhas na urna tenham igual probabilidade de serem sorteadas.
(b) Obtenha o valor esperado de
.
(b) Obtenha o valor esperado de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com três bolinhas numeradas 1, 2 e 3. Primeiro, a gente sorteia uma bolinha aleatoriamente – essa primeira bolinha é representada por $ X $. Depois, colocamos essa bolinha de volta na urna e fazemos um segundo sorteio, mas agora só considerando as bolinhas que têm número igual ou menor que a primeira sorteada. Essa segunda bolinha é representada por $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de $ Y $, ou seja, o valor médio que $ Y $ pode assumir considerando todas as possibilidades. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como distribuição de probabilidade condicional e valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações para $ X $ e $ Y $. Como temos as bolinhas 1, 2 e 3, $ X $ pode ser 1, 2 ou 3, cada uma com igual probabilidade de $ \frac{1}{3} $.
Agora, para cada valor de $ X $, vamos ver quais são as opções possíveis para $ Y $:
- Se $ X = 1 $, a única bolinha disponível para o segundo sorteio é a 1. Então, $ Y = 1 $.
- Se $ X = 2 $, as bolinhas disponíveis são 1 e 2. Então, $ Y $ pode ser 1 ou 2.
- Se $ X = 3 $, todas as três bolinhas estão disponíveis: 1, 2 e 3. Então, $ Y $ pode ser 1, 2 ou 3.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Y $ acontecer, considerando as diferentes possibilidades de $ X $:
-
Quando $ X = 1 $:
- $ Y = 1 $ com probabilidade 1.
-
Quando $ X = 2 $:
- $ Y = 1 $ com probabilidade $ \frac{1}{2} $.
- $ Y = 2 $ com probabilidade $ \frac{1}{2} $.
-
Quando $ X = 3 $:
- $ Y = 1 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.
- $ Y = 2 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.
- $ Y = 3 $ com probabilidade $ \frac{1}{3} $.
Passo 4
Para encontrar o valor esperado de $ Y $, usamos a fórmula:
Onde $ E(Y | X = x) $ é o valor esperado de $ Y $ dado que $ X = x $.
Vamos calcular $ E(Y | X = x) $ para cada $ x $:
-
Para $ X = 1 $:
-
Para $ X = 2 $:
-
Para $ X = 3 $:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
Sabemos que $ P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = \frac{1}{3} $. Então:
Passo 6
Vamos somar essas frações:
Para somar, vamos achar o denominador comum, que é 6:
Resposta
O valor esperado de $ Y $ é $ \frac{3}{2} $, ou seja, 1,5.