Em um porto de difícil acesso, a capacidade máxima de navios que podem ser recebidos em um dia é 4. A solicitação de atracação é negada apenas quando o porto está com a lotação máxima. Um funcionário notou que o número diário de navios que solicitam atracação segue uma distribuição de Poisson. Ao analisar seus registros, o funcionário calculou que, em um dia qualquer, o número esperado de solicitações de atracação é 3. A partir dessas informações, responda.
© Nos dias em que os navios não conseguem atracar, um porto próximo fornece assistência, a cada navio necessitado, com probabilidade 0,3 . Suponha que a probabilidade de prestar assistência a determinado navio seja independente da probabilidade de prestar a outro. Se 4 navios necessitaram de assistência em um determinado dia, qual a probabilidade de que 2 tenham conseguido?
© Nos dias em que os navios não conseguem atracar, um porto próximo fornece assistência, a cada navio necessitado, com probabilidade 0,3 . Suponha que a probabilidade de prestar assistência a determinado navio seja independente da probabilidade de prestar a outro. Se 4 navios necessitaram de assistência em um determinado dia, qual a probabilidade de que 2 tenham conseguido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve probabilidade, mais especificamente a distribuição Binomial. A situação é que, em certos dias, 4 navios não conseguem atracar no porto principal e precisam de assistência em um porto próximo. Cada navio tem uma probabilidade de 0,3 de conseguir essa assistência, e cada navio é independente dos outros. Queremos descobrir qual a probabilidade de exatamente 2 desses 4 navios conseguirem a assistência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que cada navio tem uma probabilidade de 0,3 de conseguir assistência. Isso quer dizer que, para cada navio que precisa de ajuda, há uma chance de 30% de ele conseguir a assistência necessária e uma chance de 70% de não conseguir.
Passo 3
Como estamos lidando com eventos independentes (a assistência a um navio não afeta a assistência a outro) e queremos saber a probabilidade de exatamente 2 sucessos em 4 tentativas, usamos a fórmula da distribuição Binomial. A fórmula é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $, também escrita como $ \binom{n}{k} $.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 4
Aplicando os valores do nosso problema:
- $ n = 4 $ (total de navios que precisam de assistência)
- $ k = 2 $ (navios que queremos que consigam assistência)
- $ p = 0,3 $ (probabilidade de assistência por navio)
Primeiro, calculamos a combinação $ \binom{4}{2} $:
Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando os termos:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 2 dos 4 navios consigam assistência é de 26,46%.