Em um porto de difícil acesso, a capacidade máxima de navios que podem ser recebidos em um dia é 4. A solicitação de atracação é negada apenas quando o porto está com a lotação máxima. Um funcionário notou que o número diário de navios que solicitam atracação segue uma distribuição de Poisson. Ao analisar seus registros, o funcionário calculou que, em um dia qualquer, o número esperado de solicitações de atracação é 3. A partir dessas informações, responda.
© Nos dias em que os navios não conseguem atracar, um porto próximo fornece assistência, a cada navio necessitado, com probabilidade 0,3 . Suponha que a probabilidade de prestar assistência a determinado navio seja independente da probabilidade de prestar a outro. Se 4 navios necessitaram de assistência em um determinado dia, qual a probabilidade de que 2 tenham conseguido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve probabilidade, mais especificamente a distribuição Binomial. A situação é que, em certos dias, 4 navios não conseguem atracar no porto principal e precisam de assistência em um porto próximo. Cada navio tem uma probabilidade de 0,3 de conseguir essa assistência, e cada navio é independente dos outros. Queremos descobrir qual a probabilidade de exatamente 2 desses 4 navios conseguirem a assistência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que cada navio tem uma probabilidade de 0,3 de conseguir assistência. Isso quer dizer que, para cada navio que precisa de ajuda, há uma chance de 30% de ele conseguir a assistência necessária e uma chance de 70% de não conseguir.

Passo 3

Como estamos lidando com eventos independentes (a assistência a um navio não afeta a assistência a outro) e queremos saber a probabilidade de exatamente 2 sucessos em 4 tentativas, usamos a fórmula da distribuição Binomial. A fórmula é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $, também escrita como $ \binom{n}{k} $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 4

Aplicando os valores do nosso problema:
  • $ n = 4 $ (total de navios que precisam de assistência)
  • $ k = 2 $ (navios que queremos que consigam assistência)
  • $ p = 0,3 $ (probabilidade de assistência por navio)
Primeiro, calculamos a combinação $ \binom{4}{2} $:
n = 4
Agora, aplicamos na fórmula:
k = 2
Calculando os termos:
p = 0,3
binom42
binom42 = 4!2!(4-2)! = 4 times 32 times 1 = 6

Resposta

A probabilidade de que exatamente 2 dos 4 navios consigam assistência é de 26,46%.

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