Considere uma urna com 3 bolinhas enumeradas como 1, 2 e 3 respectivamente. Primeiramente, sorteia-se aleatoriamente uma bolinha desta urna. Em seguida, devolve-se a bolinha sorteada e realiza-se um segundo sorteio mantendo na urna apenas as bolinhas com numeração igual ou inferior à da bolinha retirada no primeiro sorteio. Denote por X o valor sorteado para a primeira bolinha e Y para a segunda bolinha e suponha que todas as bolinhas na urna tenham igual probabilidade de serem sorteadas.
(a) Calcule a função de massa de probabilidade conjunta (distribuição conjunta) dos valores numéricos das duas bolinhas sorteadas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos uma urna com 3 bolinhas numeradas de 1 a 3. Primeiro, sorteamos uma bolinha aleatoriamente, chamando o número dela de $ X $. Depois, devolvemos essa bolinha e fazemos um segundo sorteio, mas dessa vez só com as bolinhas que têm número igual ou menor que $ X $. O número sorteado nessa segunda vez é $ Y $. Nosso objetivo é calcular a função de massa de probabilidade conjunta de $ X $ e $ Y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com probabilidades condicionais. A probabilidade conjunta $ P(X = x, Y = y) $ pode ser calculada como $ P(X = x) \times P(Y = y | X = x) $. Isso significa que vamos primeiro encontrar a probabilidade de tirar cada $ X $ e depois, para cada $ X $, a probabilidade de tirar um $ Y $ correspondente.

Passo 3

Como todas as bolinhas têm igual probabilidade de serem sorteadas, a probabilidade de tirar qualquer $ X $ é igual. Como temos 3 bolinhas, $ P(X = x) = \frac{1}{3} $ para $ x = 1, 2, 3 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(Y = y | X = x) $. Após tirar $ X $, mantemos na urna apenas as bolinhas com número igual ou menor que $ X $. Ou seja, o número de opções para $ Y $ depende do valor de $ X $:
  • Se $ X = 1 $, só temos a bolinha 1, então $ P(Y = 1 | X = 1) = 1 $.
  • Se $ X = 2 $, temos as bolinhas 1 e 2, então $ P(Y = 1 | X = 2) = P(Y = 2 | X = 2) = \frac{1}{2} $.
  • Se $ X = 3 $, temos as bolinhas 1, 2 e 3, então $ P(Y = 1 | X = 3) = P(Y = 2 | X = 3) = P(Y = 3 | X = 3) = \frac{1}{3} $.

Passo 5

Agora, podemos multiplicar as probabilidades que encontramos:
  • $ P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1) \times P(Y = 1 | X = 1) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} $
  • $ P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $
  • $ P(X = 2, Y = 2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $
  • $ P(X = 3, Y = 1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
  • $ P(X = 3, Y = 2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
  • $ P(X = 3, Y = 3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $

Resposta

A função de massa de probabilidade conjunta dos valores $ X $ e $ Y $ é:
X á

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