Considere uma urna com 3 bolinhas enumeradas como 1, 2 e 3 respectivamente. Primeiramente, sorteia-se aleatoriamente uma bolinha desta urna. Em seguida, devolve-se a bolinha sorteada e realiza-se um segundo sorteio mantendo na urna apenas as bolinhas com numeração igual ou inferior à da bolinha retirada no primeiro sorteio. Denote por X o valor sorteado para a primeira bolinha e Y para a segunda bolinha e suponha que todas as bolinhas na urna tenham igual probabilidade de serem sorteadas.
© Obtenha a distribuição de probabilidade condicional de X mid Y=2.

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 3 bolinhas numeradas de 1 a 3. Primeiro, sorteamos uma bolinha aleatoriamente (vamos chamar esse valor de $ X $). Depois, colocamos a bolinha de volta e fazemos um segundo sorteio, mas dessa vez só consideramos as bolinhas que têm número igual ou menor ao da primeira sorteada. Chamamos o valor do segundo sorteio de $ Y $.
Queremos encontrar a distribuição de probabilidade condicional de $ X $ dado que $ Y = 2 $, ou seja, $ P(X \mid Y=2) $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional $ P(X \mid Y=2) $ pode ser calculada usando a fórmula:
P(X mid Y=2)
Isso significa que precisamos encontrar duas coisas:
  1. A probabilidade conjunta de $ X $ e $ Y=2 $, que é $ P(X \cap Y=2) $.
  2. A probabilidade de $ Y=2 $, que é $ P(Y=2) $.

Passo 3

Vamos calcular $ P(Y=2) $ primeiro. Essa probabilidade pode ser obtida somando as probabilidades de $ Y=2 $ para cada valor possível de $ X $:
P(Y=2)
Sabemos que cada bolinha tem a mesma chance de ser sorteada inicialmente, então:
Y=2

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(Y=2 \mid X=x) $ para cada $ x $:
  • Se $ X=1 $: Após o primeiro sorteio ser 1, só temos a bolinha 1 na urna para o segundo sorteio. Então, não é possível sortear 2.
    P(Y=2 mid X=x)
  • Se $ X=2 $: Após o primeiro sorteio ser 2, temos as bolinhas 1 e 2 na urna para o segundo sorteio. A chance de sortear 2 é $ \frac{1}{2} $.
    x
  • Se $ X=3 $: Após o primeiro sorteio ser 3, todas as 3 bolinhas estão disponíveis no segundo sorteio. A chance de sortear 2 é $ \frac{1}{3} $.
    X=1

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula de $ P(Y=2) $:
P(Y=2)
P(Y=2) = P(Y=2 mid X=1) cdot P(X=1) + P(Y=2 mid X=2) cdot P(X=2) + P(Y=2 mid X=3) cdot P(X=3)

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(X \cap Y=2) $ para cada valor de $ X $:
  • Para $ X=1 $:
    P(X cap Y=2)
  • Para $ X=2 $:
    X
  • Para $ X=3 $:
    X=1

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional para cada $ X $:
X
Calculando para cada $ x $:
  • Para $ X=1 $:
    P(X=x mid Y=2) = P(X=x cap Y=2)P(Y=2)
  • Para $ X=2 $:
    x
  • Para $ X=3 $:
    X=1

Resposta

A distribuição de probabilidade condicional de $ X $ dado que $ Y=2 $ é:
X

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