Carregamos um avião com 100 caixas cujos pesos são variáveis aleatórias X1, ldots, X100 independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média mu=50 kg e desvio padrão sigma=10 kg. A capacidade máxima do bagageiro do avião é de 5,3 toneladas.
© Ainda no cenário da carga ser frágil, por razões de segurança o avião só transporta 50 caixas. Nesse cenário, utilizando o Teorema Central do Limite, encontre uma aproximação para a probabilidade da capacidade do bagageiro ser excedida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um avião que pode carregar até 5,3 toneladas de bagagem. Inicialmente, ele estava carregando 100 caixas, mas por causa de cargas frágeis, agora só vai carregar 50 caixas. Cada caixa pesa, em média, 50 kg, com um desvio padrão de 10 kg. A pergunta é: qual a probabilidade de a soma dos pesos dessas 50 caixas ultrapassar a capacidade máxima de 5,3 toneladas usando o Teorema Central do Limite? Vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, soma de variáveis aleatórias e o Teorema Central do Limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a capacidade máxima de 5,3 toneladas para quilogramas, já que nossos pesos estão em kg. Sabemos que 1 tonelada é igual a 1000 kg, então:
5,3 toneladas = 5,3 times 1000 = 5300 kg
Então, a capacidade máxima é de 5300 kg.

Passo 3

Agora, queremos saber a soma dos pesos das 50 caixas. Cada caixa tem peso médio mu = 50 kg e desvio padrão sigma = 10 kg. Como estamos somando 50 caixas, a média total esperada ( E(S)) é:
E(S) = n times mu = 50 times 50 = 2500 kg
E o desvio padrão total ( sigmaS) é:
sigmaS = raizn times sigma = raiz50 times 10 approx 70,71 kg

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a soma dos pesos das 50 caixas seja maior que 5300 kg. Ou seja, queremos $ P(S > 5300) $.
Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula:
P(S > 5300)
Onde $ X $ é 5300 kg, Z = X - musigma é 2500 kg e X é aproximadamente 70,71 kg.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Z = 5300 - 250070,71 = 280070,71 approx 39,6

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de $ Z $. No entanto, um valor de $ Z $ de aproximadamente 39,6 é extremamente alto. Nas tabelas de distribuição normal, valores de $ Z $ geralmente vão até cerca de 3 ou 4, e já aí a probabilidade é praticamente zero.

Passo 7

Portanto, a probabilidade de que a soma dos pesos das 50 caixas exceda 5300 kg é praticamente nula.

Resposta

A probabilidade de a capacidade do bagageiro ser excedida é praticamente zerada.

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