Carregamos um avião com 100 caixas cujos pesos são variáveis aleatórias X1, ldots, X100 independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média mu=50 kg e desvio padrão sigma=10 kg. A capacidade máxima do bagageiro do avião é de 5,3 toneladas.
(b) Caso a carga seja frágil, para melhor proteção da carga, em cada caixa é colocado um forte revestimento de modo que o novo peso de cada caixa é dobrado e acrescido de 3 kg , sendo Y o peso do novo pacote, Y=2 X+3. Calcule a nova média e o novo desvio padrão do peso de uma caixa nesse novo cenário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde carregamos 100 caixas no avião, cada uma com um peso que varia, mas em média pesa 50 kg e tem um desvio padrão de 10 kg. A capacidade máxima do bagageiro é de 5,3 toneladas. Agora, na parte (b) do exercício, se a carga é frágil, a gente coloca um revestimento forte em cada caixa. Isso faz com que o novo peso de cada caixa seja dobrado e acrescido de 3 kg. Queremos achar a nova média e o novo desvio padrão do peso de uma caixa nesse novo cenário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre transformações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que está acontecendo com o peso das caixas. Se o peso original de uma caixa é $ X $, o novo peso $ Y $ é dado por:
X
Isso significa que estamos dobrando o peso original e adicionando 3 kg.

Passo 3

Agora, vamos calcular a nova média $ E[Y] $. Sabemos que para uma transformação linear $ Y = aX + b $, a média de $ Y $ é:
E[Y]
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 3 $, com $ E[X] = 50 $ kg. Então:
Y = aX + b

Passo 4

Agora, vamos calcular o novo desvio padrão $ \sigma_Y $. Para a transformação linear $ Y = aX + b $, o desvio padrão de $ Y $ é:
sigmaY
Aqui, $ a = 2 $ e $ \sigma_X = 10 $ kg. Portanto:
Y = aX + b
O termo $ b $ não afeta o desvio padrão porque ele é uma constante adicionada.

Resposta

A nova média do peso de uma caixa é 103 kg e o novo desvio padrão é 20 kg.

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