O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo (0, theta).
Deseja-se estimar esse parâmetro theta. Para isso, foi usado o estimador theta=2 barX, onde barX é a média de uma amostra de tempos de espera.
Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada: 8,11,15,19,2,11,14,16,1.
Calcule theta e calcule todos os componentes de um boxplot para esses dados:
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema que envolve Distribuição Uniforme e Estatística Descritiva. A gente precisa estimar o parâmetro theta usando um estimador que é duas vezes a média da amostra ( theta = 2 barX). Além disso, vamos construir um boxplot para visualizar os dados, calculando Q1, Q2, Q3, DIQ, e os limites das “cercas” inferior e superior. Vamos precisar calcular a média, os quartis e entender um pouquinho sobre boxplot para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra ( barX). A amostra que temos é: 8, 11, 15, 19, 2, 11, 14, 16, 1.
Para calcular a média, somamos todos os valores e dividimos pelo número de elementos. Então:
barX = 8 + 11 + 15 + 19 + 2 + 11 + 14 + 16 + 19

Passo 3

Vamos somar os valores:
8 + 11 = 19 19 + 15 = 34 34 + 19 = 53 53 + 2 = 55 55 + 11 = 66 66 + 14 = 80 80 + 16 = 96 96 + 1 = 97
Então, a soma total é 97.
Agora, dividimos pelo número de elementos, que é 9:
barX = 979 approx 10,78

Passo 4

Agora que temos a média ( barX approx 10,78), vamos usar o estimador theta = 2 barX:
theta = 2 times 10,78 approx 21,56

Passo 5

Agora, vamos calcular os quartis para montar o boxplot. Primeiro, vamos organizar os dados em ordem crescente:
1, 2, 8, 11, 11, 14, 15, 16, 19
Como temos 9 dados, a mediana (Q2) será o 5º valor: 11.
Para encontrar Q1 (primeiro quartil), vamos olhar para os dados abaixo da mediana: 1, 2, 8, 11. A mediana desses quatro valores é a média do 2º e 3º valores:
Q1 = 2 + 82 = 5
Para Q3 (terceiro quartil), olhamos para os dados acima da mediana: 14, 15, 16, 19. A mediana desses quatro valores é a média do 2º e 3º valores:
Q3 = 15 + 162 = 15,5

Passo 6

Agora, calculamos o DIQ (Distância Interquartil), que é a diferença entre Q3 e Q1:
DIQ = Q3 - Q1 = 15,5 - 5 = 10,5

Passo 7

Para determinar as cercas inferior (CI) e superior (CS) do boxplot, usamos a regra de:
CI = Q1 - 1,5 times DIQ CS = Q3 + 1,5 times DIQ
Vamos calcular:
CI = 5 - 1,5 times 10,5 = 5 - 15,75 = -10,75
CS = 15,5 + 1,5 times 10,5 = 15,5 + 15,75 = 31,25
Como não temos valores menores que 1 ou maiores que 19 na nossa amostra, as cercas efetivas serão ajustadas para os menores e maiores valores dos dados, se necessário.

Resposta

O estimador theta é aproximadamente 21,56 minutos. Os componentes do boxplot são:
  • Q1 (Primeiro Quartil): 5
  • Q2 (Mediana): 11
  • Q3 (Terceiro Quartil): 15,5
  • DIQ (Distância Interquartil): 10,5
  • CI (Cerca Inferior): -10,75 (ajustada para 1, que é o menor valor da amostra)
  • CS (Cerca Superior): 31,25 (ajustada para 19, que é o maior valor da amostra)

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