O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo
.
Deseja-se estimar esse parâmetro
. Para isso, foi usado o estimador
, onde
é a média de uma amostra de tempos de espera.
Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada:
.
Calcule
e calcule todos os componentes de um boxplot para esses dados:
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).
Deseja-se estimar esse parâmetro
Uma amostra com 9 tempos de espera foi coletada:
Calcule
Q1, Q2, Q3, DIQ, CI (cerca inferior), CS (cerca superior).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema que envolve Distribuição Uniforme e Estatística Descritiva. A gente precisa estimar o parâmetro
usando um estimador que é duas vezes a média da amostra (
). Além disso, vamos construir um boxplot para visualizar os dados, calculando Q1, Q2, Q3, DIQ, e os limites das “cercas” inferior e superior. Vamos precisar calcular a média, os quartis e entender um pouquinho sobre boxplot para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra (
). A amostra que temos é: 8, 11, 15, 19, 2, 11, 14, 16, 1.
Para calcular a média, somamos todos os valores e dividimos pelo número de elementos. Então:
Passo 3
Vamos somar os valores:
Então, a soma total é 97.
Agora, dividimos pelo número de elementos, que é 9:
Passo 4
Agora que temos a média (
), vamos usar o estimador
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os quartis para montar o boxplot. Primeiro, vamos organizar os dados em ordem crescente:
1, 2, 8, 11, 11, 14, 15, 16, 19
Como temos 9 dados, a mediana (Q2) será o 5º valor: 11.
Para encontrar Q1 (primeiro quartil), vamos olhar para os dados abaixo da mediana: 1, 2, 8, 11. A mediana desses quatro valores é a média do 2º e 3º valores:
Para Q3 (terceiro quartil), olhamos para os dados acima da mediana: 14, 15, 16, 19. A mediana desses quatro valores é a média do 2º e 3º valores:
Passo 6
Agora, calculamos o DIQ (Distância Interquartil), que é a diferença entre Q3 e Q1:
Passo 7
Para determinar as cercas inferior (CI) e superior (CS) do boxplot, usamos a regra de:
Vamos calcular:
Como não temos valores menores que 1 ou maiores que 19 na nossa amostra, as cercas efetivas serão ajustadas para os menores e maiores valores dos dados, se necessário.
Resposta
O estimador
é aproximadamente 21,56 minutos. Os componentes do boxplot são:
- Q1 (Primeiro Quartil): 5
- Q2 (Mediana): 11
- Q3 (Terceiro Quartil): 15,5
- DIQ (Distância Interquartil): 10,5
- CI (Cerca Inferior): -10,75 (ajustada para 1, que é o menor valor da amostra)
- CS (Cerca Superior): 31,25 (ajustada para 19, que é o maior valor da amostra)