Uma carreta de massa 2000 kg inicia o movimento a \mathbf{2 , 0 ~ m} / \mathbf{s} e atinge \mathbf{6 , 0 ~ m} / \mathbf{s} após ser puxada por um trator. Calcule o trabalho realizado pela força resultante sobre a carreta.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Massa da carreta: m = 2000\\ \text{kg}.
  • Velocidade inicial: v_i = 2,0\\ \text{m/s}.
  • Velocidade final: v_f = 6,0\\ \text{m/s}.
O que se pede: calcular o trabalho realizado pela força resultante sobre a carreta durante essa aceleração.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo): como não foi dada nem a força nem o deslocamento, a maneira mais direta é usar o Teorema da Energia Cinética (também chamado Teorema Trabalho-Energia): o trabalho realizado pela força resultante sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo. Vou explicar e deduzir essa relação passo a passo.
Definições e fórmulas básicas:
  • Energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v: E_c = \tfrac{1}{2} m v^2.
Aqui E_c tem unidades de joule ( \text{J}), m está em quilogramas ( \text{kg}) e v em metros por segundo ( \text{m/s}).
Derivação rápida do Teorema Trabalho-Energia (para fixar a ideia):
  • A segunda lei de Newton diz que a força resultante é \mathbf{F}_{\text{res}} = m\mathbf{a}, onde \mathbf{a} é a aceleração.
  • O trabalho diferencial de uma força ao longo de um deslocamento diferencial \mathrm{d}\mathbf{x} é \mathrm{d}W = \mathbf{F}_{\text{res}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}.
  • Usando \mathbf{a} = \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} e \mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{v}\,\mathrm{d}t, tem-se: \mathrm{d}W = m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}t = m\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathbf{v}\right)\mathrm{d}t = m\,\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{v}.
  • Integrando de v_i a v_f (projeção na direção do movimento) obtemos: W = m\int_{v_i}^{v_f} v\,\mathrm{d}v = m\left[\tfrac{1}{2}v^2\right]_{v_i}^{v_f} = \tfrac{1}{2}m\bigl(v_f^2 - v_i^2\bigr).
Portanto a fórmula que vamos usar é: W = \tfrac{1}{2} m \bigl(v_f^2 - v_i^2\bigr).
Explicação das variáveis: W é o trabalho da força resultante (em \text{J}), m é a massa, v_i e v_f são velocidades inicial e final respectivamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado:
Calcule as velocidades ao quadrado:
v_f^2 = (6,0)^2 = 36\\ \text{m}^2/\text{s}^2,
v_i^2 = (2,0)^2 = 4\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Diferença:
v_f^2 - v_i^2 = 36 - 4 = 32\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Metade da massa:
\tfrac{1}{2}m = \tfrac{1}{2}\cdot 2000 = 1000\\ \text{kg}.
Multiplicando:
W = 1000 \times 32 = 32000\\ \text{J}.

Passo 4

Interpretação e verificação rápida: o trabalho é positivo ( W>0), o que faz sentido porque a carreta aumentou sua velocidade — a força resultante forneceu energia cinética ao sistema. Em outras unidades, W = 3{,}2\times 10^{4}\\ \text{J} = 32\\ \text{kJ}.

Resposta

32000\\ \text{J}

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