Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de
de altura, com atrito desprezível. Chegando ao ponto
, no sopé da montanha, ele é freiado pelo terreno
coberto de areia, parando após percorrer
. Utilizando apenas conceitos de trabalho e energia, determine o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. Temos um carrinho que desce uma montanha de 5,0 metros de altura sem atrito e chega ao ponto A, que é o sopé da montanha. Lá, ele entra numa área de areia que freia o carrinho até parar após 8,0 metros. Queremos descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia usando apenas os conceitos de trabalho e energia.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Energia potencial gravitacional: a energia que o carrinho tem devido à sua altura.
- Energia cinética: a energia que o carrinho tem devido ao seu movimento.
- Trabalho realizado pela força de atrito: como a areia está freando o carrinho, ela está fazendo trabalho contra o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional que o carrinho tem no topo da montanha. A fórmula para energia potencial gravitacional é:
Onde:
- $ E_p $ é a energia potencial,
- $ m $ é a massa do carrinho,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $),
- $ h $ é a altura da montanha (5,0 m).
Como a massa $ m $ não foi fornecida, vamos deixar a expressão em termos de $ m $ para poder simplificar depois.
Passo 3
Como não há atrito durante a descida da montanha, toda a energia potencial no topo é convertida em energia cinética no ponto A, ou seja, na base da montanha. Portanto, a energia cinética $ E_c $ no ponto A é igual à energia potencial inicial:
A fórmula para energia cinética é:
Onde $ v $ é a velocidade do carrinho no ponto A. Como queremos eliminar $ v $, vamos usar a igualdade das energias para seguir em frente.
Passo 4
Agora, quando o carrinho entra na área de areia, a força de atrito está fazendo trabalho para parar o carrinho. O trabalho realizado pela força de atrito $ W $ é dado por:
Onde:
- $ F_{atrito} $ é a força de atrito,
- $ d $ é a distância percorrida na areia (8,0 m).
Essa força de atrito também pode ser expressa como:
Onde:
- $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar,
- $ N $ é a força normal. Como não há outras forças verticais além do peso, $ N = m \cdot g $.
Portanto:
Passo 5
Pelo Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho total realizado sobre o carrinho é igual à variação da energia cinética do carrinho. Como o carrinho para, sua energia cinética final é zero. Então:
Igualando as duas expressões para $ W $:
Passo 6
Agora, vamos resolver para o coeficiente de atrito $ \mu $. Podemos cancelar $ m \cdot g $ dos dois lados da equação:
Então, isolando $ \mu $:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia é 0,625.