Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de 5,0 m de altura, com atrito desprezível. Chegando ao ponto A, no sopé da montanha, ele é freiado pelo terreno A B coberto de areia, parando após percorrer 8,0 m. Utilizando apenas conceitos de trabalho e energia, determine o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. Temos um carrinho que desce uma montanha de 5,0 metros de altura sem atrito e chega ao ponto A, que é o sopé da montanha. Lá, ele entra numa área de areia que freia o carrinho até parar após 8,0 metros. Queremos descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia usando apenas os conceitos de trabalho e energia.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Energia potencial gravitacional: a energia que o carrinho tem devido à sua altura.
  • Energia cinética: a energia que o carrinho tem devido ao seu movimento.
  • Trabalho realizado pela força de atrito: como a areia está freando o carrinho, ela está fazendo trabalho contra o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional que o carrinho tem no topo da montanha. A fórmula para energia potencial gravitacional é:
Ep = m cdot g cdot h
Onde:
  • $ E_p $ é a energia potencial,
  • $ m $ é a massa do carrinho,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $),
  • $ h $ é a altura da montanha (5,0 m).
Como a massa $ m $ não foi fornecida, vamos deixar a expressão em termos de $ m $ para poder simplificar depois.

Passo 3

Como não há atrito durante a descida da montanha, toda a energia potencial no topo é convertida em energia cinética no ponto A, ou seja, na base da montanha. Portanto, a energia cinética $ E_c $ no ponto A é igual à energia potencial inicial:
Ec
A fórmula para energia cinética é:
Ec = Ep = m cdot g cdot h ²
Onde $ v $ é a velocidade do carrinho no ponto A. Como queremos eliminar $ v $, vamos usar a igualdade das energias para seguir em frente.

Passo 4

Agora, quando o carrinho entra na área de areia, a força de atrito está fazendo trabalho para parar o carrinho. O trabalho realizado pela força de atrito $ W $ é dado por:
W
Onde:
  • $ F_{atrito} $ é a força de atrito,
  • $ d $ é a distância percorrida na areia (8,0 m).
Essa força de atrito também pode ser expressa como:
W = Fatrito cdot d
Onde:
  • $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar,
  • $ N $ é a força normal. Como não há outras forças verticais além do peso, $ N = m \cdot g $.
Portanto:
Fatrito

Passo 5

Pelo Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho total realizado sobre o carrinho é igual à variação da energia cinética do carrinho. Como o carrinho para, sua energia cinética final é zero. Então:
W = Ec final - Ec inicial = 0 - m cdot g cdot h = -m cdot g cdot h
Igualando as duas expressões para $ W $:
W

Passo 6

Agora, vamos resolver para o coeficiente de atrito $ \mu $. Podemos cancelar $ m \cdot g $ dos dois lados da equação:
mu
Então, isolando $ \mu $:
m cdot g

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
mu = 5,0 , m8,0 , m = 0,625

Resposta

O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia é 0,625.

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