O carrinho de uma montanha russa é indicado para até seis passageiros. O engenheiro que o projetou e construiu sabe que ele suporta até 500 kg. Se a distribuição do peso das pessoas que frequentam o parque é N(70,100),ou seja, segue uma distribuição normal com μ=70 e σ=10, calcule a probabilidade de seis pessoas ultrapassarem o limite de carga do carrinho e avalie se o brinquedo é seguro ou não.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um carrinho de montanha russa que pode levar até seis pessoas, com um limite de peso total de 500 kg. O peso das pessoas que frequentam o parque segue uma distribuição normal com média (μ) de 70 kg e desvio padrão (σ) de 10 kg. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que seis pessoas juntas excedam o limite de 500 kg e, com isso, avaliar se o brinquedo é seguro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o peso total de seis pessoas se comporta. Cada pessoa tem um peso $ X_i $ que segue a distribuição $ N(\mu=70, \sigma^2=100) $. Quando somamos seis dessas variáveis aleatórias, o peso total $ S $ também seguirá uma distribuição normal.
A média total $ \mu_S $ será:
Xi
E a variância total $ \sigma_S^2 $ será:
N(mu=70, sigma^2=100)
Portanto, o desvio padrão total $ \sigma_S $ é:
S

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o peso total $ S $ exceda 500 kg, ou seja, $ P(S > 500) $.
Para isso, vamos padronizar essa variável usando o z-score, que nos diz quantos desvios padrão o valor está acima ou abaixo da média:
S

Passo 4

Com o valor de z calculado, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar $ P(Z > 3,27) $.
Consultando a tabela, encontramos que:
P(Z > 3,27)
Portanto:
P(Z < 3,27) approx 0,9995
Isso significa que a probabilidade de seis pessoas pesarem mais de 500 kg juntas é de 0,05%.

Passo 5

Finalmente, avaliando a segurança do brinquedo. Uma probabilidade de 0,05% é extremamente baixa, o que indica que é muito improvável que seis pessoas excedam o limite de peso do carrinho. Portanto, podemos concluir que o brinquedo é seguro dentro dos parâmetros definidos.

Resposta

A probabilidade de seis pessoas ultrapassarem o limite de carga de 500 kg é de aproximadamente 0,05%, indicando que o brinquedo é seguro.

Exercícios relacionados