Um carro foi testado durante 10 dias para verificar o bom desempenho e poder ser lançado no mercado com bastante sucesso. No primeiro dia do teste, ele percorreu 80 km e , nos dias subsequentes, houve um aumento de 5 \% da quilometragem rodada em relação a quilometragem do dia anterior. Nessas condições, qual foi a quilometragem do último dia de testes?

Passo 1

O enunciado diz que o carro foi testado durante 10 dias. No primeiro dia ele percorreu 80 km. A cada dia subsequente houve um aumento de 5\% em relação ao dia anterior. A pergunta é: qual foi a quilometragem no último dia de testes (ou seja, no dia 10)?
Informações relevantes:
  • Quilometragem no dia 1: 80.
  • Taxa de aumento diária: 5\%.
  • Número total de dias: 10.
  • Precisamos encontrar a quilometragem no dia 10.

Passo 2

Entender o tipo de crescimento: quando algo aumenta uma porcentagem fixa em relação ao valor do dia anterior, os aumentos são multiplicativos (compostos), não somatórios. Isso significa que cada dia multiplicamos a quilometragem do dia anterior por um mesmo fator r. Se a taxa de aumento é p\%, então o fator multiplicativo é
r = 1 + \frac{p}{100}.
Aqui p = 5, portanto
r = 1 + \frac{5}{100} = 1,05.
Explicando de leve: multiplicar por 1,05 equivale a somar 5\% ao valor atual — por exemplo, 100 vezes 1,05 105, ou seja, 100 mais 5\% de 100.

Passo 3

Fórmula geral para esse tipo de sequência (progressão geométrica): se a_1 é o valor no primeiro dia e r é o fator multiplicativo diário, então o valor no dia n é
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui a_1 = 80, r = 1,05 e queremos a_{10}. Note que o expoente é n-1 porque do dia 1 ao dia 2 há uma multiplicação por r (um aumento), do dia 1 ao dia 3 há duas multiplicações por r, etc. Então do dia 1 ao dia 10 há 9 multiplicações por r.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=10:
a_{10} = 80 \cdot 1,05^{9}.
Aqui eu expliquei cada símbolo: 80 é a quilometragem do primeiro dia; 1,05 é o fator diário; 9 é o número de aumentos (porque 10-1=9).

Passo 5

Calcular 1,05^{9} passo a passo (multiplicando repetidamente por 1,05). Vou mostrar cada potência intermediária para você poder reproduzir sem calculadora, fazendo multiplicações simples com decimais:
1,05^{2} = 1,05 \times 1,05 = 1,1025,
1,05^{3} = 1,1025 \times 1,05 = 1,157625,
1,05^{4} = 1,157625 \times 1,05 = 1,21550625,
1,05^{5} = 1,21550625 \times 1,05 = 1,2762815625,
1,05^{6} = 1,2762815625 \times 1,05 = 1,340095640625,
1,05^{7} = 1,340095640625 \times 1,05 = 1,40710042265625,
1,05^{8} = 1,40710042265625 \times 1,05 = 1,4774554437890625,
1,05^{9} = 1,4774554437890625 \times 1,05 = 1,5513282159785156.
Se quiser, na prova você pode arredondar os intermediários com cuidado (por exemplo, manter 6 casas decimais) para facilitar as contas manuais; aqui mantive muitas casas para manter precisão.

Passo 6

Agora multiplico pelo 80 do primeiro dia:
a_{10} = 80 \times 1,5513282159785156 = 124,10625727828125.
Isso significa que, com todas as casas, a quilometragem no décimo dia foi aproximadamente 124,10625727828125 km.

Passo 7

Arredondamento e resposta prática: normalmente apresentamos quilometragem com duas casas decimais ou arredondada ao quilômetro inteiro, conforme o contexto. Arredondando para duas casas decimais obtemos 124,11 km. Não esqueça: usar vírgula como separador decimal em notação brasileira.

Resposta

124,11 km

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