Questão 49 (CESGRANRIO / BB-2015). Um investimento rende à taxa de juros compostos de
ao ano com capitalização trimestral. Para obter um rendimento de
609,00$ daqui a 6 meses, deve-se investir, hoje, em reais ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta: \n
- Taxa de juros composta nominal de
ao ano com capitalização trimestral. \n - Deseja-se obter, daqui a
meses, um rendimento (ou seja, o juro ganho) de . \n - Pergunta: quanto deve-se investir hoje (valor presente
) para que o juro ganho em meses seja . \n
Passo 2
Entender a capitalização trimestral e converter a taxa anual para a taxa por período: \n
Quando a taxa nominal anual é dada com capitalização trimestral, a taxa por trimestre é a taxa anual dividida por
. Então definimos: \n
Quando a taxa nominal anual é dada com capitalização trimestral, a taxa por trimestre
Aqui
é a taxa de juros por trimestre (período).
Passo 3
Determinar o número de períodos
em
meses: \n
Um trimestre tem meses;
meses correspondem a
trimestres. Portanto
Um trimestre tem
Passo 4
Apresentar a fórmula de montante (valor futuro) em juros compostos e definir variáveis: \n
A fórmula do montante após
períodos, quando se aplica um capital
com taxa por período
, é
A fórmula do montante
Aqui:
= capital inicial (o que queremos achar),
= taxa por período,
= número de períodos,
= montante após
períodos.
Passo 5
Relacionar rendimento (juro ganho) com
e
: \n
O rendimento (juro) obtido em períodos é a diferença entre o montante e o capital:
O rendimento (juro) obtido em
No problema, a renda desejada é
. Logo:
Passo 6
Substituir
e
e isolar
: \n
Sabendo e
, temos
Sabendo
Então a equação fica
Isolando
:
Passo 7
Fazer as contas numéricas e simplificar de forma clara: \n
Calculemos :
Calculemos
Subtraindo
:
Portanto
Note que
, então a divisão resulta em
Passo 8
Verificação rápida (para ter certeza): \n
Se , o montante em
trimestres é
Se
O juro ganho é
, que coincide com o exigido. Tudo certinho!