Questão 49 (CESGRANRIO / BB-2015). Um investimento rende à taxa de juros compostos de 12 \% ao ano com capitalização trimestral. Para obter um rendimento de \mathrm{R} \ 609,00$ daqui a 6 meses, deve-se investir, hoje, em reais ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta: \n
  • Taxa de juros composta nominal de 12\% ao ano com capitalização trimestral. \n
  • Deseja-se obter, daqui a 6 meses, um rendimento (ou seja, o juro ganho) de \mathrm{R}\$\,609{,}00. \n
  • Pergunta: quanto deve-se investir hoje (valor presente P) para que o juro ganho em 6 meses seja \mathrm{R}\$\,609{,}00. \n

Passo 2

Entender a capitalização trimestral e converter a taxa anual para a taxa por período: \n
Quando a taxa nominal anual é dada com capitalização trimestral, a taxa por trimestre i é a taxa anual dividida por 4. Então definimos: \n
i=\frac{12\%}{4}=3\%=0{,}03.
Aqui i é a taxa de juros por trimestre (período).

Passo 3

Determinar o número de períodos n em 6 meses: \n
Um trimestre tem 3 meses; 6 meses correspondem a 2 trimestres. Portanto
n=2.

Passo 4

Apresentar a fórmula de montante (valor futuro) em juros compostos e definir variáveis: \n
A fórmula do montante F após n períodos, quando se aplica um capital P com taxa por período i, é
F = P(1+i)^n.
Aqui: P = capital inicial (o que queremos achar), i = taxa por período, n = número de períodos, F = montante após n períodos.

Passo 5

Relacionar rendimento (juro ganho) com P e F: \n
O rendimento (juro) obtido em n períodos é a diferença entre o montante e o capital:
\text{rendimento} = F - P = P\bigl((1+i)^n - 1\bigr).
No problema, a renda desejada é \mathrm{R}\$\,609{,}00. Logo:
P\bigl((1+i)^n - 1\bigr)=609.

Passo 6

Substituir i e n e isolar P: \n
Sabendo i=0{,}03 e n=2, temos
(1+i)^n = (1{,}03)^2.
Então a equação fica
P\bigl((1{,}03)^2 - 1\bigr) = 609.
Isolando P:
P = \frac{609}{(1{,}03)^2 - 1}.

Passo 7

Fazer as contas numéricas e simplificar de forma clara: \n
Calculemos (1{,}03)^2:
(1{,}03)^2 = 1{,}0609.
Subtraindo 1:
(1{,}03)^2 - 1 = 0{,}0609.
Portanto
P = \frac{609}{0{,}0609}.
Note que 0{,}0609=\dfrac{609}{10000}, então a divisão resulta em
P = 10000.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza): \n
Se P=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00, o montante em 2 trimestres é
F = 10000\cdot(1{,}03)^2 = 10000\cdot1{,}0609 = 10609.
O juro ganho é F-P=10609-10000=609, que coincide com o exigido. Tudo certinho!

Resposta

\mathrm{R}\$\,10.000{,}00

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