Um carro se move ao longo do eixo x de acordo com a função x(t)=4 t^3-9 t^2+6 t metros.
Qual é a aceleração instantânea em t=2 s ?

Passo 1

Então, a gente tem um carro que está se movendo ao longo do eixo com a posição dada pela função metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração instantânea desse carro no instante segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do carro. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dx(t)dt = ddt(4t^3 - 9t^2 + 6t) em relação a ddt(4t^3) = 12t^2 .
ddt(-9t^2) = -18t
Calculando cada termo:
ddt(6t) = 6
v(t) = 12t^2 - 18t + 6
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
a(t) = dv(t)dt = ddt(12t^2 - 18t + 6)
Calculando cada termo:
ddt(12t^2) = 24t
ddt(-18t) = -18
ddt(6) = 0
Então, a aceleração é:
a(t) = 24t - 18

Passo 4

Agora que temos a expressão para a aceleração, basta substituir a(2) = 24(2) - 18 = 48 - 18 = 30 , m/s^2 segundos nela para encontrar a aceleração instantânea nesse instante.

Resposta

A aceleração instantânea do carro em segundos é de .

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