A posição de um veículo é descrita pela função x(t)=4 t^2-7 t+10 metros.
Qual é a velocidade instantânea no instante t=1 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a posição de um carro é dada pela função $ x(t) = 4t^2 - 7t + 10 $ metros. A pergunta é: qual é a velocidade instantânea desse carro no instante $ t = 1 $ segundo? Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade instantânea. Ela é a velocidade do carro em um momento exato, como se a gente pudesse olhar no exato instante $ t = 1 $ segundo e ver quão rápido o carro está indo. Para encontrar isso, a gente precisa calcular a derivada da função posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada nos dá a velocidade instantânea.
A função que temos é:
t = 1
Vamos derivar essa função em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo da função:
  1. A derivada de $ 4t^2 $ é $ 8t $ (usamos a regra do poder: multiplicamos o expoente por 4 e diminuímos o expoente em 1).
  2. A derivada de $ -7t $ é $ -7 $ (a derivada de $ t $ é 1).
  3. A derivada de uma constante, como 10, é 0.
Então, a derivada da função posição, que é a velocidade, fica:
4t^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante $ t = 1 $ segundo. Basta substituir $ t $ por 1 na expressão da velocidade:
t = 1

Resposta

A velocidade instantânea no instante $ t = 1 $ segundo é de $ 1 $ metro por segundo.

Exercícios relacionados