Uma partícula se desloca segundo a função x(t)=8 t^2-t^4 metros.
Calcule a posição máxima alcançada pela partícula

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move segundo a função de posição $ \mathrm{x}(\mathrm{t}) = 8\mathrm{t}^2 - \mathrm{t}^4 $ metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a posição máxima que essa partícula alcança. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esse ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar o ponto máximo de uma função, a gente precisa encontrar onde a sua derivada é zero. Então, vamos calcular a derivada de $ \mathrm{x}(\mathrm{t}) $ em relação a $ \mathrm{t} $.
x(t)
Usando as regras de derivação, temos:
t

Passo 3

Agora, vamos achar os valores de $ \mathrm{t} $ onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação:
t
Podemos fatorar:
16t - 4t^3 = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ 4\mathrm{t} = 0 $ → $ \mathrm{t} = 0 $
  2. $ 4 - \mathrm{t}^2 = 0 $ → $ \mathrm{t}^2 = 4 $ → $ \mathrm{t} = 2 $ ou $ \mathrm{t} = -2 $
Como tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos $ \mathrm{t} = -2 $. Então, temos $ \mathrm{t} = 0 $ e $ \mathrm{t} = 2 $.

Passo 4

Vamos verificar qual desses valores de $ \mathrm{t} $ realmente corresponde a um ponto máximo. Para isso, podemos usar a segunda derivada para ver a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
t
Agora, avaliamos em $ \mathrm{t} = 2 $:
x''(t) = ddt(16t - 4t^3) = 16 - 12t^2
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo em $ \mathrm{t} = 2 $.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a posição máxima substituindo $ \mathrm{t} = 2 $ na função original:
t = 2

Resposta

A posição máxima alcançada pela partícula é de 16 metros.

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