Uma partícula se desloca segundo a função
metros.
Calcule a posição máxima alcançada pela partícula
Calcule a posição máxima alcançada pela partícula
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move segundo a função de posição $ \mathrm{x}(\mathrm{t}) = 8\mathrm{t}^2 - \mathrm{t}^4 $ metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a posição máxima que essa partícula alcança. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esse ponto máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar o ponto máximo de uma função, a gente precisa encontrar onde a sua derivada é zero. Então, vamos calcular a derivada de $ \mathrm{x}(\mathrm{t}) $ em relação a $ \mathrm{t} $.
Usando as regras de derivação, temos:
Passo 3
Agora, vamos achar os valores de $ \mathrm{t} $ onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ 4\mathrm{t} = 0 $ → $ \mathrm{t} = 0 $
- $ 4 - \mathrm{t}^2 = 0 $ → $ \mathrm{t}^2 = 4 $ → $ \mathrm{t} = 2 $ ou $ \mathrm{t} = -2 $
Como tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos $ \mathrm{t} = -2 $. Então, temos $ \mathrm{t} = 0 $ e $ \mathrm{t} = 2 $.
Passo 4
Vamos verificar qual desses valores de $ \mathrm{t} $ realmente corresponde a um ponto máximo. Para isso, podemos usar a segunda derivada para ver a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Agora, avaliamos em $ \mathrm{t} = 2 $:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo em $ \mathrm{t} = 2 $.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a posição máxima substituindo $ \mathrm{t} = 2 $ na função original:
Resposta
A posição máxima alcançada pela partícula é de 16 metros.