Mostre que a função
na equação integral
tem a seguinte forma:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade de integrais definidas
e pede para mostrar que a função
satisfaz
Informações relevantes fornecidas:
- O membro esquerdo é uma integral em relação a
com limites e . - O membro direito é uma integral em relação a
com integrando e limites e . - Pressupõe-se
e na região considerada, para que o logaritmo apareça sem problemas de sinal.
Passo 2
Calcular a integral do lado esquerdo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, integrar
é obter a função identidade em
. Assim
Portanto a igualdade original pode ser reescrita como
Passo 3
Agora vamos calcular a integral do lado direito. A técnica natural aqui é uma substituição que transforme o denominador numa variável simples. Tome
Derivando em relação a
obtemos
Daí isolamos
:
Passo 4
Substituindo na integral, o integrando
vira
. Então uma primitiva (indefinida) é
Aqui usei que
, que é um resultado básico de integrais (integral da função
). Voltando à variável
,
Passo 5
Como precisamos da integral definida de
até
, avaliamos a primitiva nos limites:
Usando a propriedade dos logaritmos
, isto fica
Passo 6
Voltando à expressão para
, lembrando do sinal negativo inicial:
Invertendo a fração dentro do logaritmo e retirando os valores absolutos quando
, obtemos a forma final