Mostre que a função y(x) na equação integral
\int_{0}^{y(x)} d y=-\int_{x_{0}}^{x} \frac{x d x}{g+k x^{2}}
tem a seguinte forma:
y(x)=\frac{1}{2 k} \ln \left(\frac{g+k x_{0}^{2}}{g+k x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade de integrais definidas
\int_{0}^{y(x)} d y = -\int_{x_{0}}^{x} \frac{x\, d x}{g+k x^{2}}
e pede para mostrar que a função y(x) satisfaz
y(x)=\frac{1}{2 k} \ln \left(\frac{g+k x_{0}^{2}}{g+k x^{2}}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • O membro esquerdo é uma integral em relação a y com limites 0 e y(x).
  • O membro direito é uma integral em relação a x com integrando \dfrac{x}{g+kx^{2}} e limites x_{0} e x.
  • Pressupõe-se k\neq 0 e g+kx^{2}>0 na região considerada, para que o logaritmo apareça sem problemas de sinal.

Passo 2

Calcular a integral do lado esquerdo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, integrar d y é obter a função identidade em y. Assim
\int_{0}^{y(x)} d y = y(x)-0 = y(x).
Portanto a igualdade original pode ser reescrita como
y(x) = -\int_{x_{0}}^{x} \frac{x\, d x}{g+k x^{2}}.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral do lado direito. A técnica natural aqui é uma substituição que transforme o denominador numa variável simples. Tome
u = g + k x^{2}.
Derivando em relação a x obtemos
d u = 2k x\, d x.
Daí isolamos x\, d x:
x\, d x = \frac{d u}{2k}.

Passo 4

Substituindo na integral, o integrando \dfrac{x\, d x}{g+k x^{2}} vira \dfrac{1}{2k}\dfrac{d u}{u}. Então uma primitiva (indefinida) é
\int \frac{x\, d x}{g+k x^{2}} = \frac{1}{2k} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2k}\ln|u| + C.
Aqui usei que \int \dfrac{d u}{u} = \ln|u| + C, que é um resultado básico de integrais (integral da função 1/u). Voltando à variável x,
\int \frac{x\, d x}{g+k x^{2}} = \frac{1}{2k}\ln|g+k x^{2}| + C.

Passo 5

Como precisamos da integral definida de x_{0} até x, avaliamos a primitiva nos limites:
\int_{x_{0}}^{x} \frac{x\, d x}{g+k x^{2}} = \frac{1}{2k}\Bigl[\ln|g+k x^{2}| - \ln|g+k x_{0}^{2}|\Bigr].
Usando a propriedade dos logaritmos \ln A - \ln B = \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right), isto fica
\int_{x_{0}}^{x} \frac{x\, d x}{g+k x^{2}} = \frac{1}{2k}\ln\!\left(\frac{|g+k x^{2}|}{|g+k x_{0}^{2}|}\right).

Passo 6

Voltando à expressão para y(x), lembrando do sinal negativo inicial:
y(x) = -\int_{x_{0}}^{x} \frac{x\, d x}{g+k x^{2}} = -\frac{1}{2k}\ln\!\left(\frac{|g+k x^{2}|}{|g+k x_{0}^{2}|}\right).
Invertendo a fração dentro do logaritmo e retirando os valores absolutos quando g+kx^{2}>0, obtemos a forma final
y(x)=\frac{1}{2 k} \ln \left(\frac{g+k x_{0}^{2}}{g+k x^{2}}\right).

Resposta

y(x)=\frac{1}{2 k} \ln \left(\frac{g+k x_{0}^{2}}{g+k x^{2}}\right)

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