A posição de uma partícula é dada por \mathrm{x}(\mathrm{t})=4-27 \mathrm{t}+\mathrm{t}^{3}.
a) Encontre \mathrm{v}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t}).
b) Existe algum instante no qual \mathrm{v}=0 ?
c) Descreva o movimento para \mathrm{t}>0.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como função do tempo:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=4-27\mathrm{t}+\mathrm{t}^{3}.
Pede três coisas separadas:
  • (a) Encontrar a velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t}) e a aceleração \mathrm{a}(\mathrm{t}).
  • (b) Verificar se existe algum instante em que \mathrm{v}=0 (ou seja, encontrar os instantes em que a velocidade se anula).
  • (c) Descrever o movimento para \mathrm{t}>0 (que direção, onde muda de sentido, como varia a rapidez, etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de \mathrm{x}(\mathrm{t}) para todo \mathrm{t}. Não há mais dados (unidades não fornecidas).

Passo 2

Vamos achar \mathrm{v}(\mathrm{t}). Conceito e regra que uso: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A regra prática mais útil aqui é a regra do expoente (power rule): para n inteiro, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}. Além disso, derivada de uma constante é zero e a derivada de c\,t (com c constante) é c.
Aplicando isso termo a termo em \mathrm{x}(\mathrm{t}):
\mathrm{x}(\mathrm{t})=4-27\mathrm{t}+\mathrm{t}^{3}.
Derivando:
  • \dfrac{d}{dt}(4)=0.
  • \dfrac{d}{dt}(-27\mathrm{t})=-27.
  • \dfrac{d}{dt}(\mathrm{t}^{3})=3\mathrm{t}^{2} pelo power rule com n=3.
Somando:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{x}'(\mathrm{t})=-27+3\mathrm{t}^{2}.

Passo 3

Agora \mathrm{a}(\mathrm{t}) é a derivada da velocidade: aceleração = \dfrac{d}{dt} da velocidade. Tomando a derivada de \mathrm{v}(\mathrm{t}):
\mathrm{v}(\mathrm{t})=-27+3\mathrm{t}^{2}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}(-27)=0.
  • \dfrac{d}{dt}(3\mathrm{t}^{2})=3\cdot 2\mathrm{t}=6\mathrm{t}.
Portanto
\mathrm{a}(\mathrm{t})=\mathrm{v}'(\mathrm{t})=6\mathrm{t}.
Explicação física curta: \mathrm{v}(\mathrm{t}) diz a rapidez e direção instantâneas; \mathrm{a}(\mathrm{t}) diz como \mathrm{v} muda no tempo. Aqui \mathrm{a}(\mathrm{t}) é proporcional a \mathrm{t} (linhas crescentes).

Passo 4

Responder (b): existem instantes em que \mathrm{v}=0? Igualo \mathrm{v}(\mathrm{t}) a zero e resolvo:
-27+3\mathrm{t}^{2}=0.
Dividindo por 3:
\mathrm{t}^{2}=9.
Logo os zeros são \mathrm{t}=\pm 3. Como o enunciado pergunta depois por \mathrm{t}>0, o instante relevante é \mathrm{t}=3 (mas matematicamente também há \mathrm{t}=-3). Posso fatorar para ver a estrutura:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=3(\mathrm{t}^{2}-9)=3(\mathrm{t}-3)(\mathrm{t}+3),
confirmando zeros em \mathrm{t}=\pm 3.

Passo 5

Descrever o movimento para \mathrm{t}>0.
  1. Sinal da velocidade e pontos chave: como vimos, para \mathrm{t}=3 tem \mathrm{v}=0. Para analisar o sinal de \mathrm{v} em intervalos, observe que \mathrm{v}(\mathrm{t})=3(\mathrm{t}-3)(\mathrm{t}+3). Para \mathrm{t}>0 só precisamos comparar com 3:
  • Se 0<\mathrm{t}<3, então \mathrm{t}-3<0 e \mathrm{t}+3>0, logo \mathrm{v}(\mathrm{t})<0.
  • Se \mathrm{t}=3, \mathrm{v}=0.
  • Se \mathrm{t}>3, ambos \mathrm{t}-3 e \mathrm{t}+3 são positivos, logo \mathrm{v}(\mathrm{t})>0.
Conclusão: para 0<\mathrm{t}<3 a partícula move-se no sentido negativo (velocidade negativa); em \mathrm{t}=3 ela muda de sentido; para \mathrm{t}>3 move-se no sentido positivo.
  1. Comportamento da rapidez (módulo da velocidade) e papel da aceleração: a aceleração é \mathrm{a}(\mathrm{t})=6\mathrm{t}, que para \mathrm{t}>0 é positiva e cresce linearmente. A aceleração positiva significa que a velocidade está aumentando com o tempo (isto é, \mathrm{v}'(\mathrm{t})>0 para \mathrm{t}>0). Quando a velocidade é negativa mas sua derivada é positiva (caso 0<\mathrm{t}<3), isso significa que a velocidade está se aproximando de zero — a partícula está desacelerando no sentido negativo (a rapidez diminui). Em \mathrm{t}=3 a velocidade chega a zero; depois disso ( \mathrm{t}>3) a velocidade torna-se positiva e continua aumentando — a partícula acelera no sentido positivo (a rapidez aumenta).
  2. Ponto de mínimo de posição: como a velocidade passa de negativa para positiva em \mathrm{t}=3, \mathrm{t}=3 é um instante de mínimo local da posição \mathrm{x}(\mathrm{t}). Podemos calcular a posição nesse instante:
\mathrm{x}(3)=4-27\cdot 3+3^{3}=4-81+27= -50.
Então a partícula atinge a posição \mathrm{x}=-50 em \mathrm{t}=3 e daí começa a voltar no sentido positivo.
Resumo físico informal: começa em \mathrm{t}=0 com velocidade negativa grande ( \mathrm{v}(0)=-27), vai se movendo para a esquerda (ou sentido negativo) enquanto vai “freando” porque a aceleração positiva reduz a rapidez; aos \mathrm{3} segundos para momentaneamente na posição -50 e então inverte o sentido e sai para a direita acelerando cada vez mais.

Passo 6

(Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição)
  • \mathrm{v}(0)=-27 (move-se rapidamente para o sentido negativo no início).
  • \mathrm{v}(1)=-27+3\cdot 1^{2}=-24 (ainda negativo, magnitude menor que em 0, logo já desacelerou).
  • \mathrm{v}(4)=-27+3\cdot 4^{2}=-27+48=21 (agora positivo e grande: movimento para o sentido positivo com aceleração).

Resposta

(a) \mathrm{v}(\mathrm{t})=-27+3\mathrm{t}^{2},\quad \mathrm{a}(\mathrm{t})=6\mathrm{t}
(b) Sim; \mathrm{v}(\mathrm{t})=0 em \mathrm{t}=\pm 3. Para \mathrm{t}>0 o instante é \mathrm{t}=3.
(c) Para 0<\mathrm{t}<3 a partícula move-se no sentido negativo ( \mathrm{v}<0) desacelerando; em \mathrm{t}=3 para ( \mathrm{v}=0) na posição \mathrm{x}(3)=-50; para \mathrm{t}>3 inverte o sentido e move-se no sentido positivo ( \mathrm{v}>0) acelerando.

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