A posição de uma partícula é dada por
.
a) Encontre
e
.
b) Existe algum instante no qual
?
c) Descreva o movimento para
.
a) Encontre
b) Existe algum instante no qual
c) Descreva o movimento para
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula como função do tempo:
Pede três coisas separadas:
- (a) Encontrar a velocidade
e a aceleração . - (b) Verificar se existe algum instante em que
(ou seja, encontrar os instantes em que a velocidade se anula). - (c) Descrever o movimento para
(que direção, onde muda de sentido, como varia a rapidez, etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
para todo
. Não há mais dados (unidades não fornecidas).
Passo 2
Vamos achar
. Conceito e regra que uso: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A regra prática mais útil aqui é a regra do expoente (power rule): para
inteiro,
. Além disso, derivada de uma constante é zero e a derivada de
(com
constante) é
.
Aplicando isso termo a termo em
:
Derivando:
-
. -
. -
pelo power rule com .
Somando:
Passo 3
Agora
é a derivada da velocidade: aceleração =
da velocidade. Tomando a derivada de
:
Derivando termo a termo:
-
. -
.
Portanto
Explicação física curta:
diz a rapidez e direção instantâneas;
diz como
muda no tempo. Aqui
é proporcional a
(linhas crescentes).
Passo 4
Responder (b): existem instantes em que
? Igualo
a zero e resolvo:
Dividindo por
:
Logo os zeros são
. Como o enunciado pergunta depois por
, o instante relevante é
(mas matematicamente também há
). Posso fatorar para ver a estrutura:
confirmando zeros em
.
Passo 5
Descrever o movimento para
.
- Sinal da velocidade e pontos chave: como vimos, para
tem . Para analisar o sinal de em intervalos, observe que . Para só precisamos comparar com :
- Se
, então e , logo . - Se
, . - Se
, ambos e são positivos, logo .
Conclusão: para
a partícula move-se no sentido negativo (velocidade negativa); em
ela muda de sentido; para
move-se no sentido positivo.
-
Comportamento da rapidez (módulo da velocidade) e papel da aceleração: a aceleração é
, que para é positiva e cresce linearmente. A aceleração positiva significa que a velocidade está aumentando com o tempo (isto é, para ). Quando a velocidade é negativa mas sua derivada é positiva (caso ), isso significa que a velocidade está se aproximando de zero — a partícula está desacelerando no sentido negativo (a rapidez diminui). Em a velocidade chega a zero; depois disso ( ) a velocidade torna-se positiva e continua aumentando — a partícula acelera no sentido positivo (a rapidez aumenta). -
Ponto de mínimo de posição: como a velocidade passa de negativa para positiva em
, é um instante de mínimo local da posição . Podemos calcular a posição nesse instante:
Então a partícula atinge a posição
em
e daí começa a voltar no sentido positivo.
Resumo físico informal: começa em
com velocidade negativa grande (
), vai se movendo para a esquerda (ou sentido negativo) enquanto vai “freando” porque a aceleração positiva reduz a rapidez; aos
segundos para momentaneamente na posição
e então inverte o sentido e sai para a direita acelerando cada vez mais.
Passo 6
(Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição)
-
(move-se rapidamente para o sentido negativo no início). -
(ainda negativo, magnitude menor que em , logo já desacelerou). -
(agora positivo e grande: movimento para o sentido positivo com aceleração).
Resposta
(a)
(b) Sim; em
. Para
o instante é
.
(c) Para a partícula move-se no sentido negativo (
) desacelerando; em
para (
) na posição
; para
inverte o sentido e move-se no sentido positivo (
) acelerando.
(b) Sim;
(c) Para