Um carro parte da cidade A em direção à cidade B , distante 150 km , a uma velocidade constante de 90 \mathrm{km} / \mathrm{h}. No mesmo instante, outro carro parte da cidade B em direção a A, a uma velocidade também constante de 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine:
a) A distância entre os dois carros após 30 minutos.
b) O instante em que eles se cruzam.
c) A posição onde se cruzam.
d) A posição do primeiro carro quando o segundo chegar ao seu destino.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
  • Distância entre as cidades A e B: 150 km.
  • Carro 1 (parte de A para B) com velocidade constante v_1 = 90\\ \mathrm{km/h}.
  • Carro 2 (parte de B para A) com velocidade constante v_2 = 120\\ \mathrm{km/h}.
  • Ambos partem ao mesmo instante.
O enunciado pede:
a) A distância entre os dois carros após 30 minutos.
b) O instante em que eles se cruzam (isto é, o tempo desde a partida até o encontro).
c) A posição onde se cruzam (distância medida a partir de A, por exemplo).
d) A posição do primeiro carro quando o segundo chegar ao seu destino (quando o carro 2 completar os 150 km e chegar em A).

Passo 2

Primeiro conceitos e conversões básicas (explicando para a prova):
  • Fórmula fundamental do movimento com velocidade constante: a distância percorrida é produto da velocidade pelo tempo:
\text{distância} = \text{velocidade} \times \text{tempo}.â
Aqui todas as velocidades estão em \mathrm{km/h}, então o tempo deve estar em horas para usar essa fórmula diretamente.
Converter 30 minutos para horas:
30\\ \text{min} = 30/60\\ \text{h} = 0,5\\ \text{h}.
Calcular a distância percorrida por cada carro em 0,5\\ \text{h}:
d_1 = v_1 \times 0,5 = 90 \times 0,5 = 45\\ \text{km},
d_2 = v_2 \times 0,5 = 120 \times 0,5 = 60\\ \text{km}.
Como eles se aproximam um do outro, a distância entre eles após 30 minutos é a distância inicial menos a soma das distâncias que cada um já percorreu:
\text{distância entre} = 150 - (d_1 + d_2) = 150 - (45 + 60) = 45\\ \text{km}.â

Passo 3

Agora vamos achar o instante em que se cruzam. Ideia importante (muito útil em prova): quando dois objetos se movem em direções opostas, a velocidade relativa de aproximação é a soma das velocidades. Então:
v_{\text{rel}} = v_1 + v_2 = 90 + 120 = 210\\ \mathrm{km/h}.
O tempo até o encontro é o tempo necessário para que, a essa velocidade relativa, eles cubram a distância inicial 150\\ \text{km}:
t = \frac{\text{distância}}{v_{\text{rel}}} = \frac{150}{210} = \frac{5}{7}\\ \text{h}.â
Explicando formas de dar a resposta na prova:
  • Em horas: t = \dfrac{5}{7}\\ \text{h}.
  • Em decimal de horas: \dfrac{5}{7}\approx 0,7142857\\ \text{h} (usar vírgula: 0,7142857\\ \text{h}).
  • Em minutos: multiplicar por 60:
t = \frac{5}{7}\times 60 = \frac{300}{7}\\ \text{min} \approx 42,\!857142\\ \text{min}.
  • Converter a parte fracionária dos minutos em segundos: 0,\!857142\\ \text{min}\times 60 \approx 51,\!4286\\ \text{s}.
    Portanto, t \approx 42\\ \text{min}\\\ 51{,}43\\ \text{s}.

Passo 4

Agora a posição do encontro (onde se cruzam). Duas maneiras equivalentes: calcular a distância percorrida pelo carro 1 até o encontro ou pelo carro 2.
Usando o carro 1:
d_{1,\text{encontro}} = v_1 \times t = 90 \times \frac{5}{7} = \frac{450}{7}\\ \text{km}.
Em decimal:
\frac{450}{7}\approx 64,285714\\ \text{km}.
Isso quer dizer que o encontro ocorre a \dfrac{450}{7}\\ \text{km} de A (ou aproximadamente 64,\!2857\\ \text{km} a partir de A).
Usando o carro 2 para checar (opcional na prova, serve como verificação):
d_{2,\text{encontro}} = v_2 \times t = 120 \times \frac{5}{7} = \frac{600}{7}\\ \text{km}\approx 85,714286\\ \text{km},
e de fato \dfrac{450}{7}+\dfrac{600}{7}=150, então está consistente.

Passo 5

Por fim, a posição do primeiro carro quando o segundo chegar ao seu destino.
Tempo que o carro 2 leva para ir de B até A:
t_{\text{B}\to\text{A}} = \frac{150}{v_2} = \frac{150}{120} = 1{,}25\\ \text{h}.
Converter para horas e minutos: 1{,}25\\ \text{h} = 1\\ \text{h} + 0{,}25\\ \text{h} = 1\\ \text{h} + 15\\ \text{min} (ou seja, 1\\ \text{h}\\\ 15\\ \text{min}).
Distância percorrida pelo carro 1 nesse tempo:
d_{1,\text{quando 2 chega}} = v_1 \times 1{,}25 = 90 \times 1{,}25 = 112{,}5\\ \text{km}.
Isso significa que, quando o carro 2 chega em A, o carro 1 está a 112{,}5\\ \text{km} de A (ou faltam 150-112{,}5=37{,}5\\ \text{km} para o carro 1 chegar em B).

Resposta

a) 45\\ \text{km}
b) \dfrac{5}{7}\\ \text{h} \approx 0,7142857\\ \text{h} = 42\\ \text{min}\\\ 51{,}43\\ \text{s}
c) \dfrac{450}{7}\\ \text{km}\approx 64{,}2857\\ \text{km} a partir de A
d) 112{,}5\\ \text{km} a partir de A (faltam 37{,}5\\ \text{km} para B)

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