Um carro parte de uma cidade A e pode chegar na cidade B, através de duas rodovias R1 e R2. Na época chuvosa, a probabilidade do tráfego na rodovia R1 ser interrompido, impedindo que o carro chegue na cidade B, é de 0,05. A probabilidade do tráfego na rodovia R2 ser interrompido, impedindo que o carro chegue na cidade B, ê de 0,1. Além disso, sabe-se que se R1 está interrompida a probabilidade de R2 estar interrompida é de 15 %. Determine a probabilidade de que o carro chegue na cidade B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um carro que sai da cidade A e quer chegar na cidade B usando duas rodovias: $ R_1 $ e $ R_2 $. Durante a época chuvosa, a rodovia $ R_1 $ pode ter tráfego interrompido com probabilidade de 0,05, e a rodovia $ R_2 $ tem uma probabilidade de interrupção de 0,1. Além disso, se a rodovia $ R_1 $ estiver interrompida, a probabilidade da rodovia $ R_2 $ também estar interrompida é de 15%. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o carro chegar na cidade B, ou seja, pelo menos uma das rodovias estar funcionando.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar:
  • $ A $: Rodovia $ R_1 $ está interrompida.
  • $ B $: Rodovia $ R_2 $ está interrompida.
Sabemos que:
  • $ P(A) = 0,05 $
  • $ P(B) = 0,1 $
  • $ P(B|A) = 0,15 $ (probabilidade de $ R_2 $ estar interrompida dado que $ R_1 $ está interrompida)

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de o carro chegar na cidade B, o que acontece se pelo menos uma das rodovias estiver funcionando. Em termos de probabilidade, isso é igual a 1 menos a probabilidade de ambas as rodovias estarem interrompidas ao mesmo tempo.
Matematicamente:
P(Chegar) = 1 - P(A cap B)

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ambas as rodovias estarem interrompidas. Para isso, usamos a regra da multiplicação para eventos dependentes:
P(A cap B)
Substituindo os valores que temos:
P(A cap B) = P(A) times P(B|A)

Passo 5

Finalmente, substituímos $ P(A \cap B) $ na fórmula da probabilidade de chegar na cidade B:
P(A cap B)

Resposta

A probabilidade de o carro chegar na cidade B é de 0,9925 ou 99,25%.

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