Um dado, não viciado, ê lançado. Se sair face par, um número é escolhido aleatoriamente dentre os nuimeros inteiros 1,2,3,4,5. Se sair face impar, um nuimero é escolhido aleatoriamente dentre os números inteiros 6,7,8,9.
Dado que um nimero par foi escolhido, qual a probabilidade de ter saido face impar no dado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos de probabilidade vamos usar para resolver isso.
Enunciado resumido: Temos um dado justo (não viciado) que é lançado. Se sair uma face par, escolhemos aleatoriamente um número inteiro entre 1,2,3,4,5. Se sair uma face ímpar, escolhemos aleatoriamente um número inteiro entre 6,7,8,9. Sabendo que foi escolhido um número par, queremos saber qual a probabilidade de que a face do dado que saiu foi ímpar.
Conteúdo da matéria: Probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular as probabilidades envolvidas para usar o Teorema de Bayes e chegar na probabilidade desejada.

Passo 2

Vamos definir os eventos para facilitar:
  • $ A $: A face do dado é ímpar.
  • $ B $: O número escolhido é par.
Queremos encontrar $ P(A|B) $, ou seja, a probabilidade de ter saído uma face ímpar dado que o número escolhido é par.

Passo 3

Pela definição da probabilidade condicional e do Teorema de Bayes:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Precisamos calcular:
  1. $ P(A) $: Probabilidade de sair uma face ímpar no dado.
  2. $ P(B|A) $: Probabilidade de escolher um número par dado que a face do dado foi ímpar.
  3. $ P(B) $: Probabilidade total de escolher um número par.

Passo 4

Calculando $ P(A) $:
Um dado tem 6 faces, sendo 3 ímpares e 3 pares. Então:
P(A) úí

Passo 5

Calculando $ P(B|A) $:
Se a face do dado é ímpar, escolhemos um número aleatório entre P(B|A) .
Vamos ver quantos desses números são pares:
  • Números pares em 6,7,8,9: 6 e 8.
Total de números possíveis: 4.
Então:
6,7,8,9úú

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(B) $:
P(B)
Onde:
  • $ A’ $ é o evento complementar de $ A $, ou seja, a face do dado é par.
  • $ P(A’) = 1 - P(A) = \frac{1}{2} $.
Já sabemos que $ P(B|A) = \frac{1}{2} $.
Agora, vamos calcular $ P(B|A’) $:
Se a face do dado é par, escolhemos um número aleatório entre P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|A') cdot P(A') .
Os números pares em A' : 2 e 4.
Total de números possíveis: 5.
Então:
A úú
Agora, podemos calcular $ P(B) $:
P(A') = 1 - P(A) = 12

Passo 7

Agora, podemos substituir os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B) = ( 12 ) cdot ( 12 )920 = 14920 = 14 times 209 = 2036 = 59

Resposta

A probabilidade de ter saído uma face ímpar no dado dado que um número par foi escolhido é $ \frac{5}{9} $.

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