Um dado, não viciado, ê lançado. Se sair face par, um número é escolhido aleatoriamente dentre os nuimeros inteiros
. Se sair face impar, um nuimero é escolhido aleatoriamente dentre os números inteiros
.
Dado que um nimero par foi escolhido, qual a probabilidade de ter saido face impar no dado?
Dado que um nimero par foi escolhido, qual a probabilidade de ter saido face impar no dado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos de probabilidade vamos usar para resolver isso.
Enunciado resumido: Temos um dado justo (não viciado) que é lançado. Se sair uma face par, escolhemos aleatoriamente um número inteiro entre
. Se sair uma face ímpar, escolhemos aleatoriamente um número inteiro entre
. Sabendo que foi escolhido um número par, queremos saber qual a probabilidade de que a face do dado que saiu foi ímpar.
Conteúdo da matéria: Probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular as probabilidades envolvidas para usar o Teorema de Bayes e chegar na probabilidade desejada.
Passo 2
Vamos definir os eventos para facilitar:
- $ A $: A face do dado é ímpar.
- $ B $: O número escolhido é par.
Queremos encontrar $ P(A|B) $, ou seja, a probabilidade de ter saído uma face ímpar dado que o número escolhido é par.
Passo 3
Pela definição da probabilidade condicional e do Teorema de Bayes:
Precisamos calcular:
- $ P(A) $: Probabilidade de sair uma face ímpar no dado.
- $ P(B|A) $: Probabilidade de escolher um número par dado que a face do dado foi ímpar.
- $ P(B) $: Probabilidade total de escolher um número par.
Passo 4
Calculando $ P(A) $:
Um dado tem 6 faces, sendo 3 ímpares e 3 pares. Então:
Passo 5
Calculando $ P(B|A) $:
Se a face do dado é ímpar, escolhemos um número aleatório entre
.
Vamos ver quantos desses números são pares:
- Números pares em
: 6 e 8.
Total de números possíveis: 4.
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ P(B) $:
Onde:
- $ A’ $ é o evento complementar de $ A $, ou seja, a face do dado é par.
- $ P(A’) = 1 - P(A) = \frac{1}{2} $.
Já sabemos que $ P(B|A) = \frac{1}{2} $.
Agora, vamos calcular $ P(B|A’) $:
Se a face do dado é par, escolhemos um número aleatório entre
.
Os números pares em
: 2 e 4.
Total de números possíveis: 5.
Então:
Agora, podemos calcular $ P(B) $:
Passo 7
Agora, podemos substituir os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de ter saído uma face ímpar no dado dado que um número par foi escolhido é $ \frac{5}{9} $.