Em um plano inclinado, rolam sem deslizar uma casca esférica, um anel fino e um cilindro maciço, todos com a mesma massa \mathbf{m}. Se todos são soltos ao mesmo tempo do topo do plano inclinado, qual a ordem de chegada na base do plano?

Passo 1

O enunciado pede a ordem de chegada de três corpos (casca esférica, anel fino e cilindro maciço), todos de massa m, rolando sem deslizar num mesmo plano inclinado. O conteúdo usado será a dinâmica de rolamento puro: a força de atrito estática gera torque e diminui a aceleração de translação. Precisamos da relação entre aceleração linear a e momento de inércia I.

Passo 2

Para um corpo que rola sem deslizar, aplicamos Newton na direção do plano e o torque devido ao atrito estático F_f. Segue o sistema
m\,a = m\,g\sin\theta - F_f,
F_f\,R = I\,\alpha,
com \alpha = a/R. Eliminando F_f obtém-se
a = \frac{g\sin\theta}{1 + \displaystyle\frac{I}{mR^2}}.

Passo 3

Agora listamos o coeficiente adimensional \displaystyle\frac{I}{mR^2} de cada corpo:
– Anel fino:
I_{\rm anel} = mR^2\quad\Longrightarrow\quad\frac{I_{\rm anel}}{mR^2}=1.
– Casca esférica:
I_{\rm casca} = \tfrac{2}{3}mR^2\quad\Longrightarrow\quad\frac{I_{\rm casca}}{mR^2}=\tfrac{2}{3}.
– Cilindro maciço:
I_{\rm cil} = \tfrac12mR^2\quad\Longrightarrow\quad\frac{I_{\rm cil}}{mR^2}=\tfrac12.

Passo 4

Substituímos cada coeficiente na fórmula de a:
a_{\rm anel} = \frac{g\sin\theta}{1+1} = \tfrac12\,g\sin\theta,
a_{\rm casca} = \frac{g\sin\theta}{1+\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{5}\,g\sin\theta = 0{,}6\,g\sin\theta,
a_{\rm cil} = \frac{g\sin\theta}{1+\tfrac12} = \tfrac{2}{3}\,g\sin\theta \approx 0{,}667\,g\sin\theta.

Passo 5

Como aceleração maior implica menor tempo de descida, comparamos
a_{\rm cil} > a_{\rm casca} > a_{\rm anel}.
Logo, o cilindro maciço chega primeiro, depois a casca esférica e por último o anel fino.

Resposta

O primeiro é o cilindro maciço, em segundo a casca esférica e por fim o anel fino.

Exercícios relacionados