Conhecendo o valor do módulo da tração ( \mathrm{T} \pm \Delta \mathrm{T} N ) e da densidade linear da corda ( \mu \pm \Delta \mu \mathrm{Kg} / \mathrm{m} ), encontre o erro no valor da velocidade (v) da onda na corda.
(Resp.: \quad \Delta v=\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{\sqrt{\mu T}}+\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}} \Delta \mu\right) )

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de propagação na corda
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde T é a tração com incerteza \Delta T e \mu é a densidade linear com incerteza \Delta \mu. Queremos estimar o erro absoluto \Delta v resultante dessas incertezas. O conteúdo envolvido é propagação de erros em funções de várias variáveis.

Passo 2

Para um função v(T,\mu), usando a abordagem de erro máximo (somando erros lineares), temos aproximadamente
\Delta v \approx \left|\frac{\partial v}{\partial T}\right|\Delta T \;+\;\left|\frac{\partial v}{\partial \mu}\right|\Delta \mu.
Aqui calculamos as derivadas parciais de v em relação a T e a \mu.

Passo 3

Escrevemos v = T^{1/2}\,\mu^{-1/2}. Então
\frac{\partial v}{\partial T} = \frac{1}{2}\,T^{-1/2}\,\mu^{-1/2} = \frac{1}{2\,\sqrt{T\,\mu}}
e
\frac{\partial v}{\partial \mu} = -\frac{1}{2}\,T^{1/2}\,\mu^{-3/2} = -\frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}}.

Passo 4

Tomando valores absolutos das derivadas parciais, obtemos
\left|\frac{\partial v}{\partial T}\right| = \frac{1}{2\,\sqrt{T\,\mu}}, \qquad \left|\frac{\partial v}{\partial \mu}\right| = \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}}.
Substituímos na fórmula de propagação de erro.

Passo 5

Logo,
\Delta v \approx \frac{1}{2\,\sqrt{T\,\mu}}\;\Delta T \;+\; \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}}\;\Delta \mu = \frac{1}{2}\Biggl(\frac{\Delta T}{\sqrt{T\,\mu}} +\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}}\,\Delta \mu\Biggr).

Resposta

\Delta v = \frac{1}{2}\Biggl(\frac{\Delta T}{\sqrt{\mu\,T}} +\sqrt{\frac{T}{\mu^{3}}}\,\Delta \mu\Biggr).

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